Приклади «Непов’язаної» математики, що грає фундаментальну роль у TCS?

Наведіть, будь ласка, приклади, коли теорема з математики, яка зазвичай не вважалася застосованою в інформатиці, була вперше використана для доведення результату в галузі інформатики. Найкращі приклади - це ті, де зв’язок не був очевидним, але як тільки він був виявлений, це очевидно "правильний спосіб" це зробити.

Це протилежний напрямок питання Про застосування ТКС до класичної математики?

Наприклад, див. "Теорема Гріна та ізоляція на площинних графіках" , де теорема ізоляції (яка вже була відома за допомогою технічного підтвердження) повторно доведена за допомогою теореми Гріна з багатовимірного числення.

Які ще приклади є?

Моріс Херліхі, Майкл Сакс, Нір Шавіт та Фотіос Захароглоу отримали премію Годель у 2004 році за використання алгебраїчної топології при вивченні деяких проблем розподілених обчислень.

У мене є приклад з твору, який я був співавтором з Нога Алона та Мулі Сафра кілька років тому:

Нога використав алгебраїчну топологію з фіксованою точкою для доказу "Теореми розщеплення намиста": якщо у вас намисто з намистинами типу t і ви хочете розділити його частини між b людьми, щоб кожен отримував однакову кількість намистин від кожного типу ( припустимо, що b ділить t), ви завжди можете це зробити, вирізавши намисто в максимум (b-1) t місцях.

Ми використовували цю теорему для побудови комбінаторного об'єкта, який ми використовували для доведення твердості наближення множини Set.

Більше інформації тут: http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest.html

З ретроспективою це може бути очевидним, але я завжди захоплювався застосуванням Стіле, Яо та Бен-Ор теореми Олейніка-Петровського / Мілнора / Тома (що обмежує число Бетті реальних напівалгебраїчних множин), щоб довести нижчі межі в алгебраїчному дереві рішень та моделях обчислень алгебраїчних дерев.

Один з моїх улюблених результатів - використання топологічних аргументів у доказі Ловаша гіпотези Кнезера , а також використання топологічних ( і групово- теоретичних ) методів у нападі Кан-Сакса- Штуртеванта на сильну гіпотезу Андера-Розенберга-Карпа про ухилення .

Теорія представлення кінцевих груп використовується в підході Кона-Кляйнберга-Сегеді-Умана до множення матриць . Вони показують, що якщо існують сімейства виробів із вінка з абелену із симетричними групами, що задовольняють певним умовам, то існують алгоритми множення матричного квадратичного рівня складності.

Теорія репрезентації (алгебраїчних груп) також проявляється в підході теорії геометричної складності Мулмулі та Сохоні до нижчих меж. Поки не ясно, чи вважатиметься це додатком, оскільки жодних нових складних результатів ще не доведено при такому підході, але принаймні цікавий зв’язок між двома областями, які спочатку червоніють, здаються абсолютно не пов'язаними.

$IP = PSPACE$

Теорія апроксимації (яка стосується наближення можливо складних або неприродних дійсно-значущих функцій простими функціями, такими як поліноми низького ступеня), мала багато застосувань у складності схеми, квантової складності запитів, псевдовипадковості тощо.

Я думаю, що одне з найкрутіших застосувань інструментів з цієї області походить з цієї роботи Бейгеля, Рейнгольда та Спілмана, де вони показали, що клас складності ПП закритий під перетином, використовуючи той факт, що функцію знаку можна наблизити низькою -раціональна раціональна функція.

Нісан, Сегеді та Патурі показали нижню межу для наближення симетричних функцій поліномами низького ступеня. Цей метод часто використовується при доведенні нижчих меж складності запиту квантових запитів. Наприклад, див. Конспекти лекцій Скотта Аронсона .

Ще одна прекрасна ідея: ідея Яо використовувати принципи minimax та доказ того, що змішані ігри мають рівновагу (по суті, лінійну програмістичну подвійність) для показу нижчих меж на рандомізованих алгоритмах (замість того, щоб побудувати розподіл по входах до детермінованого алгоритму).

Теореми з фіксованою точкою повсюдно ...

$n$$O(\log n!)$порівняння, дух). Доказом цього факту є геометрія багатовимірних політопів. Зокрема, доказ використовує нерівність Брунн-Міньковського. Гарне представлення цього питання є у книзі Матусека про Лекції з дискретної геометрії (Розділ 12.3). Оригінальний доказ - Кан і Лініал, звідси .

У теоретичній інформатиці існує багато застосувань теорії інформації : наприклад, у доведенні нижчих меж для локально декодируемих кодів (див. Катц і Тревісан), у доказуванні Раза про теорему паралельного повторення, у складності зв'язку (див., Наприклад, нитка роботи над стисканням зв'язку, наприклад, відносно недавні роботи Барака, Бравермана, Чен і Рао та посилання на них) та багато іншого.

Алон і Наор використали нерівність Гротендіка, щоб довести алгоритм наближення до задачі про максимальне скорочення . Я думаю, що є подальші роботи на цю тему, але я не експерт.

Цікаво, що цю саму теорему використовували Клів, Хойер, Тонер і Вотрус для аналізу квантових ігор XOR, а Лініал і Шрайбман використовували її для квантової складності комунікацій. Наскільки мені відомо, зв’язок між нерівністю Гротендіка та основою квантової фізики був відкритий Цирельсоном у 85 році, але два результати, про які я згадував, стосуються конкретно інформатики.

Хороший приклад - теорема Баррінгтона:

$f$$d$$f$$4^d$

$S_5$

Безсоромний штекер: використання ізотропної гіпотези (та опуклої геометрії взагалі) для проектування приблизно оптимальних диференційно приватних механізмів для лінійних запитів у моїй роботі з Моріцом Хардтом .

Щоб частково відповісти на вищезазначене питання Суреша, я вважаю, що оригінальне запитання є дещо складним через те, що "зазвичай не застосовується в інформатиці". Деякі з цих методів, які можуть здатися спорідненими ", з часом стають" нормальними ". Тож найуспішніші з цих методів (наприклад, аналіз Фур'є в Кан-Калай-Лініялі, метричні вбудовування в Лініял-Лондон-Рабінович) вже не є дійсними відповідями.

Аддитивна комбінаторика / теорія чисел багато використовувалася в екстракторній літературі. Я думаю, що перші випадки походять від того, що можна помітити, що графіки Палі можуть використовуватися як хороші екстрактори, а деякі відкриті питання в теорії адитивних чисел означатимуть кращі. Найбільш раннє посилання, яке я знаю, - це Цукерман 1990 (див. Його дисертацію ), але в останні кілька років це була активна область з цікавими напрямками вперед і назад між ТКС та комбінатами добавок. (Одним із важливих моментів є доказ Двіра про кінцеву гіпотезу Какея, але це, звичайно, внесок ТКС у математику, а не навпаки.) Апріорі не зрозуміло, чому саме такі математичні запитання щодо сум і продуктів наборів, були б важливими для CS.

Sleator, Tarjan та Thurston довели існування нескінченної родини пар двійкових пошукових дерев з nвершинами та відстані обертання 2n-6за допомогою гіперболічної геометрії.

$o(k^2)$

$k^2$

Лінійна алгебра, що використовується для розшарування графіків:

Джошуа Д. Батсон, Даніель А. Спілман, Нікхіл Срівастава: Двічі-рамануанські розріджувачі. STOC 2009: 255-262.

Це може бути, а може і не рахуватися, але останнім часом теорії набору Зермело-Франкеля з атомами (ZFA) та Теоріями Френкеля-Мостовського (ФМ) були застосовані до вивчення абстрактного синтаксису з прив’язкою до імені. ZFA був запроваджений на початку 20 століття як інструмент доведення незалежності СН, а потім забутий про нього, але його знову відкрили наприкінці 1990-х двома комп'ютерними вченими --- Ґаббеєм та Піттсом ---, вивчаючи щось абсолютно непов'язане.

Наприклад, дивіться цей оглядовий документ.

Застосування Канромом і Кімом ентропії графів до сортування за частковою інформацією (http://portal.acm.org/citation.cfm?id=129731). Вони дали перший багаточленний алгоритм часу, який виконує інформацію теоретично оптимальної (аж до констант) кількості порівнянь. Стаття являє собою невелику поїздку з математики з використанням деяких класичних комбінаторних аргументів разом із опуклою геометрією, ентропією графа та опуклим програмуванням. Існує більш сучасний простіший алгоритм, але ми все ще знаємо, як його аналізувати без ентропії графа.

Теорія чисел була використана для розробки RSA та інших криптографічних схем з відкритим ключем.

Відкриття множення Карацуби було дивовижним.