Найважливіші причини, через які виникають проблеми в P або BPP

Нещодавно, розмовляючи з фізиком, я стверджував, що в моєму досвіді, коли проблема, яка наївно здається, що має тривати експоненціальний час, нетривіально виявляється в П або БПП, "загальну причину", чому відбувається зниження, зазвичай можна визначити --- і майже завжди ця причина належить до списку з десятка або менше «звичайних підозрюваних» (наприклад: динамічне програмування, лінійна алгебра ...). Однак це змусило мене задуматися: чи можемо ми насправді записати гідний перелік таких причин? Ось перша, неповна спроба однієї:

(0) Математична характеристика. Проблема має неочевидну "чисто-математичну" характеристику, яка, колись відома, робить негайним, що ви можете просто зробити вичерпний пошук списку полі (n) можливостей. Приклад: площинність графіка, для якого алгоритм O (n ⁶ ) випливає з теореми Куратовського.

(Як вказує "планарний" нижче, це був поганий приклад: навіть коли ви знаєте комбінаторну характеристику планарності, даючи поліноміально-часовий алгоритм для нього все ще досить нетривіально. Отже, дозвольте мені замінити тут кращий приклад: як щодо , скажімо, "з урахуванням вводу n, записаного у двійковій формі, обчисліть, скільки кольорів потрібно, щоб забарвити довільну карту, вбудовану на поверхню з n отворами". Апріорі очевидно, що це взагалі можна обчислити (або навіть скінчити!). Але є відома формула, що дає відповідь, і як тільки ви знаєте формулу, обчислити в тричлени тривіально. Тим часом, "зводиться до виключених неповнолітніх / теорія Робертсона-Сеймура", мабуть, слід додати як окрему загальну причину, чому щось може бути в П.)

У всякому разі, це саме не така ситуація, яка мене найбільше цікавить.

(1) Динамічне програмування. Проблема може бути розбита таким чином, що дає можливість рекурсивного рішення без експоненціального вибуху - часто тому, що обмеження, які необхідно задовольнити, розташовані в лінійному або іншому простому порядку. «Чисто комбінаторний»; не потрібна алгебраїчна структура. Можливо, доступність графіків (а отже, і 2SAT) є особливими випадками.

(2) Матроїди. Проблема має структуру матроїдів, що дозволяє алчному алгоритму працювати. Приклади: відповідність, мінімальне прольотове дерево.

(3) Лінійна алгебра. Проблема може бути зведена до вирішення лінійної системи, обчислення детермінанта, обчислення власних значень і т. Д. Можливо, більшість проблем, пов'язаних з "чудодійними скасуваннями", включаючи ті, що вирішуються формалізмом сірника Валіана, також підпадають під лінійно-алгебраїчний парасольку.

(4) Опуклість. Проблема може бути виражена як якась опукла оптимізація. Напівміфінітне програмування, лінійне програмування та ігри з нульовою сумою - звичайні (все частіше) особливі випадки.

(5) Тестування поліноміальної ідентичності. Проблема може бути зведена до перевірки поліномної ідентичності, так що фундаментальна теорія алгебри призводить до ефективного рандомізованого алгоритму - а в деяких випадках, як первинність, навіть доказувально-детермінованого алгоритму.

(6) Ланцюжок Маркова Монте-Карло. Проблема може бути зведена до вибірки з результату швидко змішувальної прогулянки. (Приклад: приблизно підрахунок ідеальних відповідностей.)

(7) Алгоритм Евкліда. GCD, продовження дробів ...

Різне / Не очевидно, як саме класифікувати: Стабільний шлюб, поліноміальний факторинг, проблема членства для груп перестановки, різні інші проблеми в теорії чисел та теорії груп, маломірні проблеми грат ...

Моє запитання: які найважливіші речі я залишив?

Для уточнення:

• Я усвідомлюю, що жоден список не може бути повним: незалежно від кількості причин, які ви наводите, хтось зможе знайти екзотичну проблему, яка є в P, але не з будь-якої з цих причин. Частково з цієї причини мене більше цікавлять ідеї, які ставлять багато різних, здавалося б, не пов'язаних між собою проблем P або BPP, ніж ідеї, які працюють лише на одну проблему.

• Я також усвідомлюю, що це суб'єктивно, як розділити речі. Наприклад, чи повинні мати матроїди бути окремим випадком динамічного програмування? Чи достатньо важлива розв'язуваність за допомогою пошуку на глибині, щоб бути її причиною, окремо від динамічного програмування? Крім того, часто одна і та ж проблема може бути в P з декількох причин, залежно від того, як ви дивитесь на неї: наприклад, пошук головного власного значення відбувається в P через лінійної алгебри, а також тому, що це проблема опуклої оптимізації.

Коротше кажучи, я не сподіваюся на "теорему класифікації" - просто на перелік, який корисно відображає те, що ми знаємо про ефективні алгоритми. І саме тому мене найбільше цікавлять методи розміщення речей у P або BPP, які мають широке застосування, але які не вписуються у вищевказаний перелік - або інші ідеї щодо вдосконалення моєї першої спроби поправитись на мою похвалу фізик.

Деякі класи графіків дозволяють поліноміально-часові алгоритми для проблем, які є NP-жорсткими для класу всіх графіків. Наприклад, для ідеальних графіків можна знайти найбільший незалежний набір у поліноміальний час (завдяки vzn у коментарі, який пробіг мою пам'ять). Завдяки конструкції продукту це також дозволяє уніфікувати пояснення декількох, мабуть, зовсім різних CSP, що відслідковуються (наприклад, ті, які мають структуру дерева, які зазвичай вирішуються ієрархічним розкладом, і всерізне обмеження, яке зазвичай вирішується ідеальним узгодженням).

Можна стверджувати, що досконалі графіки є "легкими", оскільки вони дозволяють приємно формулювати задані задачі на півфініфіковані проблеми (і тому підпадають під лінійну алгебру та / або опуклість). Однак я не впевнений, що повністю фіксує те, що відбувається.

• András Z. Salamon та Peter G. Jeavons, Ідеальні обмеження можна простежити , CP 2008, LNCS 5202, 524–528. doi: 10.1007 / 978-3-540-85958-1_35

• Мейнольф Зельман, Політоп задач задоволеності бінарними обмеженнями з деревами, CPAIOR 2008, LNCS 5015, 367–371. doi: 10.1007 / 978-3-540-68155-7_39

Як зазначає Гіл Калай, властивості графіків, які утворюють другорядні закриті класи, можна визначити скінченним набором заборонених неповнолітніх (це теорема Робертсона-Сеймура ). Ще один результат Робертсона та Сеймура полягає в тому, що тестування на наявність неповнолітнього можна зробити в кубічному часі. Разом вони ведуть до алгоритму багаточленного часу для визначення властивостей, які є другорядними.

• Ніл Робертсон і П. Д. Сеймур, неповнолітні. XIII. Проблема розрізнених шляхів , Журнал теорії комбінації, серія B 63 (1) 65–110, 1995. doi: 10.1006 / jctb.1995.1006

Одна з проблем, пов'язаних із незначними закритими властивостями графіка, полягає в тому, що вони "малі"; виключаючи навіть одну мінор, виключає безліч графіків. Це, мабуть, одна з причин структурної декомпозиції Робертсона-Сеймура: залишилось досить мало графіків, щоб вони мали гарну структуру.

• Сергей Норін, Пол Сеймур, Робін Томас і Пол Воллан, належні неповнолітні сім'ї - малі , Журнал комбінаторної теорії, серія B 96 (5) 754–757, 2006. doi: 10.1016 / j.jctb.2006.01.006 ( додрук )

Одна спроба вийти за межі другорядних закритих класів здійснюється через класи, визначені забороненими підграфами або забороненими індукованими підграграфами.

Властивості графів, визначені скінченним набором заборонених підграфів або індукованими підграфами, визначаються в поліноміальний час, досліджуючи всі можливі підграграфи.

$F$$F$$F$$F$

$F$

$F$$F$$F$$F$

• Марія Чудновський та Пол Seymour, без урахування індукованих подграфов , опитування в комбінаториці 2007, 99-119, Cambridge University Press, ISBN 9780521698238. ( препринт )

$F$$F$$F$

Скорочення на основі решітки (алгоритм LLL). Це основа для ефективної цілочисельної поліноміальної факторизації та деяких ефективних криптоаналітичних алгоритмів, таких як розрив лінійно-конгруентних генераторів та низький ступінь RSA. У деякому сенсі можна розглядати алгоритм Евкліда як окремий випадок.

Ціле програмування Ленстри в обмеженому вимірі, алгоритм Ленстра-Ленстра-Ловас і пов'язані з ним наступні алгоритми - алгоритм Барвінок для кількості цілих розв’язків задачі ІР в обмеженому вимірі та P-алгоритм Каннана для задачі Фробеніус / Сільвестр можна додати як особлива категорія. Тут помітною відкритою проблемою є пошук P-алгоритму для проблем вищого порядку в Ієрархії Пребургерів.

Іншим класом P-алгоритму, який варто згадати, є ті, що P-алгоритм, наданий об'єкту, виявився за рандомізованими доказами. Приклади: алгоритми для застосування Lovasz-Local Lemma; алгоритмічні версії результату дискреційності Спенсера; (дещо іншого смаку) алгоритмічні версії леми регулярності Szemeredi.

Існує велика і все ще зростаюча теорія про класи задач задоволення обмежень з фіксованим шаблоном, які мають поліноміально-часові алгоритми. Значна частина цієї роботи потребує освоєння книги Хобі та Маккензі , але, на щастя, для тих із нас, хто більше цікавиться інформатикою, ніж універсальною алгеброю, деякі частини цієї теорії тепер були спрощені, щоб бути доступними для аудиторії TCS.

$\Gamma$$S$$T$$\Gamma$$S$$T$

$\Gamma$$k \ge 3$$k$$\Gamma$$(0,0,\dots,0)$$S$$0$$T$

$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$; це означає на практиці, що клас проблем містить усі послідовно простіші підпрограми, які розглядаються вирішувачем обмежень, тому процес вирішення обмежень дозволяє уникнути генерації "жорстких" проміжних інстанцій при вирішенні "легких" проблем.

$\Gamma$$\Gamma$

На сьогоднішній день результати, мабуть, вказують на те, що повинна бути якась загальна силова трансформація базового простору стану досяжності, яка може перетворити подібні проблеми на проблеми з постійним кортежем у кожному відношенні, як приклад вище. (Це моя особиста інтерпретація поточних досліджень і цілком може бути абсолютно неправильно , в залежності від того, як постійний пошуку алгоритму для алгебр з циклічними точками каструлі, тому я залишаю за собою право відректися це.) Відомо , що , коли є ISN Якщо такої трансформації не виникає, тоді проблема не є повною. Межа гіпотези дихотомії в даний час передбачає усунення цього розриву; дивіться відкритий список проблем із семінару-практикуму з алгебри та CSP 2011 року .

У будь-якому випадку це, мабуть, заслуговує на запис у списку Скотта.

Другий клас PTIME дозволяє застосовувати методи локальної узгодженості для обрізки можливих рішень, поки не знайдеться рішення або не вдасться вирішити. Це по суті складний варіант того, як більшість людей вирішує проблеми судоку. Я не думаю, що ця причина в даний час також є у списку Скотта.

$\Gamma$

Нарешті, є також багато захоплюючої роботи, розпочатої Мануелем Бодірським щодо справи нескінченних доменів. Деякі алгоритми виглядають досить дивними, і в кінцевому підсумку може виявитися більше записів у списку Скотта.

Я бачу, що Чандра на це натякає, але думаю, що структура релаксації ЛП (наприклад, завдяки тотальній унімодулярності) є розповсюдженою формою "структури", що призводить до поліноміальності. На нього припадає великий клас полі часових алгоритмів. Якщо включати проблеми з обіцянками, на неї припадає також великий клас алгоритмів наближення. Найчастіші класи причин, з яких виникають, що не випливають з LP та / або SDP, - це усунення Гаусса та динамічне програмування. Звичайно, є й інші, наприклад, голографічні алгоритми, які не мають простих пояснень.