Чи відомо, що колапс

Між кожним рівнем ієрархії поліномів містяться різні класи складності, включаючи $\Delta_i^{\text{P}}$ , $\text{DP}$ , $\text{BH}_k$ та $\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}$ . Через відсутність кращої термінології я буду називати ці та будь-які інші як проміжні класи між рівнями $i$ та $i+1$ в ієрархії поліномів. Для цілей цього питання припустимо, що це класи, що містяться у $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ але містять $\Sigma_i^\text{P}$ та / або $\Pi_i^\text{P}$ . Ми хочемо уникати включення $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ , якщо це можливо, оскільки це тривіально еквівалентно $\text{PH}$ якщо він руйнується до рівня ${i+1}^{th}$ .

Крім того, визначте наступне:
$\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} \text{ and } L' \in \Pi_i^{\text{P}} \right \}$

Вищенаведене є узагальненням класу $\text{DP}$ (також пишеться $\text{D}^\text{P}$ ). У цьому визначенні $\text{DP}$ еквівалентний $\text{DP}_1$ . Це розглядається в іншому питанні cstheory.se . Неважко помітити, що $\text{DP}_i \subseteq \Delta_{i+1}^{\text{P}}$ і містить як $\Sigma_i^\text{P}$ і $\Pi_i^\text{P}$ .

Довідкова схема:

Діаграма PH

Питання:
Припустимо, що ієрахія полінома руйнується до рівня , але не руйнується до рівня . Тобто і . ${i+1}^{th}$ $i^{th}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P}=\Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_{i}^\text{P}\neq\Pi_{i}^\text{P}$

Чи можемо ми сказати щось більше про стосунки між цими проміжними класами самими та іншими на будь-якому рівні нижче ? Чи існує схема для колекції класів складності, де для кожної колекції класи еквівалентні тоді і лише тоді, коли руйнується точно до довільно вибраного рівня? $i+1$ $\text{PH}$

Припустимо, що ієрархія руйнується до будь-якого конкретного одного з цих проміжних класів (наприклад, ). Залежно від обраного класу, чи знаємо ми, чи повинен цей колапс продовжувати поширюватися вниз, можливо, навіть до рівня ? $\Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $i^{th}$

Вищезазначене питання було частково досліджено і відповіло у статті, виданій Hemaspaandra et. al:
Згортання вниз у межах ієрархії поліномів
Чи хтось знає про додаткові приклади, про які не йдеться в цій статті, або має інтуїцію щодо того, що має відбутися для того, щоб клас досяг цього?

cc.complexity-theory polynomial-hierarchy

— mdxn
джерело

Я не маю гарної відповіді, але в дусі складності у мене є кілька відповідей, які підказують, що хорошої відповіді може бути важко прийти :).

Зауважимо, що узагальнена версія теореми Ладнера передбачає, що нескінченно багато полі-часових ступенів суворо знаходяться між та будь-яким багатопоточним ступенем, строго над ним. Зокрема, якщо ієрархія руйнується до рівня -st, але не -го, то між та існує нескінченно багато p-градусів . $\mathsf{\Sigma_i P}$ $i+1$ $i$ $\mathsf{\Sigma_i P}$ $\mathsf{\Sigma_{i+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{i+1} P}=\mathsf{\Sigma_{i+1} P}$
Якщо я правильно пригадую, побудова оракула, для якого виглядає як арифметична ієрархія, залишається відкритою проблемою. Під "схожим на арифметичну ієрархію" я маю на увазі, що не руйнується, а для всіх . Це принаймні говорить про те, що відповідь на ваше запитання може бути невідома. $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$ $k$
Кер-я До дають оракул , в якому він відділяє рівні від тих . Оскільки ці дві ієрархії сплітаються один з одним, це дає вам хоч якусь - то інформацію про Релятівізуемие обвалів проблем між рівнями . $\mathsf{BPH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$
Наступне посилання - неправильний напрямок, але вас також можуть зацікавити результат та його методи. Чанг і Кадін показали, що якщо булева ієрархія (яка живе повністю нижче другого рівня , але поширюється на цілу ієрархію) руйнується до свого -го рівня, тоді руйнується до -го рівня булевої ієрархія над . $\mathsf{PH}$ $\mathsf{DP}$ $k$ $\mathsf{PH}$ $k$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$

— Джошуа Грохов
джерело

Якщо

бути

Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P

$\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_k P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$

Δ_{k} P = Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k + 1} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P ?

$\mathsf{\Delta_{k} P}=\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}?$

— Т ....

вибачте, але я подумав, що

правильно? Напр .:

Σ_{k - 1}^{P} \cup Π_{k - 1}^{P} \subseteq Δ_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{p} \cap Π_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{P} \cup Π_{k}^{P}

$\Sigma_{k-1}^P\cup\Pi_{k-1}^P\subseteq \Delta_k^P\subseteq \Sigma_k^p\cap\Pi_k^P\subseteq \Sigma_k^P\cup\Pi_k^P$

P = Σ_{0}^{P} \cup Π_{0}^{P} = P \cup P \subseteq Δ_{1}^{P} = P \subseteq Σ_{1}^{p} \cap Π_{1}^{P} = N P \cap c o N P \subseteq Σ_{1}^{P} \cup Π_{1}^{P} = N P \cup c o N P \subseteq Δ_{2}^{P} = P^{N P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cap Π_{2}^{P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cup Π_{2}^{P} \dots

$P=\Sigma_{0}^P\cup\Pi_{0}^P=P\cup P\subseteq \Delta_1^P=P\subseteq \Sigma_1^p\cap\Pi_1^P=NP\cap coNP\subseteq \Sigma_1^P\cup\Pi_1^P=NP\cup coNP\subseteq \Delta_2^P=P^{NP}\subseteq\Sigma_2^P\cap\Pi_2^P\subseteq\Sigma_2^P\cup\Pi_2^P\dots$

— Т ....