Найменша булева схема для генерування мови

Розглянемо не порожню мову двійкових рядків довжиною n . Я можу описати L за булевою схемою C з n входами та одним виходом, таким, що C ( w ) є істинним iff w ∈ L : це добре відомо.$L$$n$$L$$C$$n$$C(w)$$w \in L$

Тим НЕ менше, я хочу представляти з булевої схемою C ' з п виходів і певною кількістю входів, скажуть м , таким чином, що безліч вихідних значень C ' для кожного з 2 м можливих входів в точності л .$L$$C'$$n$ $m$$C'$$2^m$$L$

З огляду на , як я можу знайти таку схему С ' мінімальних розмірів, і яка складність? Чи існує якась залежність між відомими межами щодо розмірів ланцюгів першого типу ( C ) та ланцюгів цього другого роду ( C ′ ), або складності їх пошуку?$L$$C'$$C$$C'$

(Зауважте, що існує якась подвійність у такому значенні: дано , я легко можу визначити, чи є вхідне слово w в L , оцінюючи ланцюг, але загалом NP важко знайти якесь слово в L , знайшовши присвоєння такому, що висновок є істинним. З огляду на C ' також NP-важко вирішити, чи є якесь вхідне слово w в L, тому що я повинен бачити, якщо призначення дає w як вихід, але легко знайти якесь слово в L , оцінюючи ланцюг на будь-якому довільному вході.)$C$$w$$L$$L$$C'$$w$$L$$w$$L$

Я зазначу просте підключення до недетермінованих схем і коротко прокоментую криптографічну твердість.

Для визначте складність зображення, позначену i m c ( S ) , як мінімальну кількість затворів у будь-якому (фанін-два, І / АБО / НЕ) булевій схемі С : { 0 , 1 } м → { 0 , 1 } п , образ якого S . Питання задає питання про складність обчислень i m c ( S ) , задавши таблицю правдивості $S \subseteq \{0, 1\}^n$$imc(S)$$C: \{0, 1\}^m \rightarrow \{0, 1\}^n$$S$$imc(S)$$S$(рядок довжиною ).$2^n$

Також визначають недетермінірованного складність схеми з , який ми будемо позначати п з гр ( S ) , як найменше недетермінованої ланцюга C ( х , у ) : { 0 , 1 } п + т ' → { 0 , 1 } приймає точно S . Тобто, ми вимагаємо від C, що x ∈ S iff ∃ y : C ( $S$$ncc(S)$$C(x, y): \{0, 1\}^{n + m'} \rightarrow \{0, 1\}$$S$$C$$x \in S$ . Це стандартне поняття, яке використовується для визначення неоднорідного класу N P / p o l y : це клас усіх безлічі S = { S n } n > 0 , при S n ⊆ { 0 , 1 } n , такий, що n c c ( S n ) ≤ p o l y ( n ) .$\exists y: C(x, y) = 1$$NP/poly$$S = \{S_n\}_{n > 0}$$S_n \subseteq \{0, 1\}^n$$ncc(S_n) \leq poly(n)$

Я хотів зазначити, що . Обидва напрямки цієї нерівності легко перевірити. $imc(S) = ncc(S) \pm O(n)$

Нехай позначає складність детермінованої схеми. Використовуючи Разборов-Рудич, документ, який згадує Дай Ле, показує (грубо кажучи тут), що за певних криптографічних припущень обчислювально важко відрізнити таблиці істинності S з d c c ( S ) малими, від таблиць істини справді випадковими S (при d c c ( S ) майже-максимальний). Випадкові S також мають n c c ( S ) майже максимальні, і ми, звичайно, маємо$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$ncc(S)$ . Тож ваші проблеми важкі при тих самих припущеннях.$ncc(f) \leq dcc(f)$

Що важче обчислити, задавши таблицю істинності для , d c c ( S ) або n c c ( S ) ? Чи є зменшення в будь-якому випадку? Не знаю.$S$$dcc(S)$$ncc(S)$

Ви повинні ознайомитись із цим документом Кабанця та Кая. Я цитую конспект статті:

Ми вивчаємо складність задачі мінімізації ланцюга: враховуючи таблицю істинності булевої функції та параметр s , вирішуємо, чи f може бути реалізована булевою схемою розміром не більше s . Ми стверджуємо, чому ця проблема навряд чи є в P (або навіть у P / p o l y ), даючи ряд дивних наслідків такого припущення. Ми також стверджуємо, що доведення цієї проблеми як N P- незавершене (якщо воно справді є істинним) означало б доведення сильних схем нижчих меж для класу E , що виявляється поза відомими в даний час методами.$f$$s$$f$$s$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}/\mathsf{poly}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{E}$

Хоча в ланцюзі ви згадали, обчислюється функція F : { 0 , 1 } m → L , ми можемо розглядати це як послідовність схем C ' 1 , C ' 2 , ... , C ' n , де C ' я обчислює я т ч вихідний біт F . Оскільки кожен C ′ я обчислює булеву функцію { 0 , 1 } $C'$$F:\{0,1\}^m \rightarrow L$$C'_1,C'_2,\ldots,C'_n$$C'_i$$i^{\rm th}$$F$$C'_i$ , зводячи до мінімуму ланцюгів C ' я , здаєтьсяжорсткийвідповідно до вище результату.$\{0,1\}^m\rightarrow \{0,1\}$$C'_i$