Використовуючи послідовність де Бреййна, щоб знайти

11

Шон Андерсон опублікував трохи крутив хакі , що містять алгоритм Еріка Коула , щоб знайти А.Н. -розрядним целочисленного в операцій з множення і пошуку. $\lceil\log_2 v \rceil$ $N$ $v$ $O(\lg(N))$

Алгоритм спирається на "магічне" число з послідовності Де Бруйна. Чи може хтось пояснити основні математичні властивості послідовності, що використовується тут?

uint32_t v; // find the log base 2 of 32-bit v
int r;      // result goes here

static const int MultiplyDeBruijnBitPosition[32] = 
{
  0, 9, 1, 10, 13, 21, 2, 29, 11, 14, 16, 18, 22, 25, 3, 30,
  8, 12, 20, 28, 15, 17, 24, 7, 19, 27, 23, 6, 26, 5, 4, 31
};

v |= v >> 1; // first round down to one less than a power of 2 
v |= v >> 2;
v |= v >> 4;
v |= v >> 8;
v |= v >> 16;

r = MultiplyDeBruijnBitPosition[(uint32_t)(v * 0x07C4ACDDU) >> 27];

nt.number-theory comp-number-theory

— Юрій Байда
джерело

2

Ідея виходить з цієї статті supertech.csail.mit.edu/papers/debruijn.pdf . Послідовність де Бруйна розміром

- це спосіб представити всі бітові рядки розміром

дуже стисло: кожна можлива рядок з'являється рівно один раз у вигляді суміжного підпорядкування . Отже, якщо ви змістите послідовність de Bruijn на

біт і прочитаєте останні

біт, у вас є унікальний ідентифікатор для

.

2^{k}

$2^k$

k

$k$

n \leq 2^{k}

$n \leq 2^k$

k

$k$

n

$n$

— Сашо Ніколов

1

До речі, це обчислює лише

; і як написано, він працює лише для 32-бітних цілих чисел.

⌈ \log_{2} v ⌉

$\lceil \log_2 v \rceil$

— Сашо Ніколов

1

@Sasho Перетворитись на відповідь?

— Yuval Filmus

@SashoNikolov Спасибі, додав функцію стелі до питання

— Юрій Байда

9

Спершу зауважте, що цей алгоритм обчислює лише , і як написаний код, він працює лише для що вписується у бітове слово. $\lceil \log_2 v \rceil$ $v$ $32$

Послідовність зсувів або -ів, яка з’являється першою, має функцію розповсюдження провідного 1-біта аж до найменш значущого біта. Числово це дає . $v$ $2^{\lceil \log_2 v \rceil} - 1$

Цікава частина - трюк de Bruijn, який походить з цієї праці про Leiserson, Prokop та Randall (мабуть, професори MIT проводять час, роблячи трохи хакі :)). Що потрібно знати про послідовності де Бруйна, це те, що вони представляють усі можливі послідовності заданої довжини таким чином, наскільки це можливо стиснене. Точно послідовність де Бруйна над алфавітом - це двійковий рядок довжиною таким чином, що кожна двійкова стрічка довжиною з’являється рівно один раз у вигляді суміжного підрядка (дозволено обгортання). Причина цього корисна в тому, що якщо у вас є число $\{0, 1\}$ $s$ $2^k$ $k$ $X$ чиє бітове представлення - це послідовність де Бреййна ( підкреслена нулями), то верхні біти однозначно ідентифікують (до тих пір, як ). $k$ $k$ $2^iX$ $i$ $i <k$

— Сашо Ніколов
джерело

3

Зверніть увагу , що ви можете використовувати будь-яку послідовність де Брейна таким чином , щоб обчислити

дав

. Однак ви не можете використовувати довільну послідовність де Бреййна для обчислення

дається

. Тут 0x07C4ACDD = 00000111110001001010110011011101, здається, є послідовністю де Бруйна з деякими додатковими властивостями, завдяки чому додаткова

не руйнує цей підхід.

i

$i$

2^{i}

$2^i$

i

$i$

2^{i} - 1

$2^i - 1$

- 1

$-1$

— Jukka Suomela

Дякую @JukkaSuomela, мене це трохи збентежило. Я думаю, ти завжди можеш просто додати 1 до

.

v

$v$

— Сашо Ніколов

5

Деякі коментарі (насправді не відповідь). Класифікуємо 32-бітні цілі числа таким чином: $c$

Тип X: (як двійковий рядок) - це послідовність Де Бруйна (для всіх обертів біти [27,31] є різними). Приклад: $c$
```
11111011100110101100010100100000
```
Введіть Y: біти [27,31] з різні при . Про це говорять Leiserson et al. використовує. Приклади: $2^i \cdot c$ $i = 0, 1, ..., 31$
```
00000100011001010011101011011111
00001111101110011010110001010010
```
Тип Z: біти [27,31] з різні при . Це те, що нам потрібно в оригінальному запитанні. Приклади: $(2^{i+1} - 1) \cdot c$ $i = 0, 1, ..., 31$
```
00000111110001001010110011011101  (07C4ACDD)
10000111110001001010110011011101
01111000001110110101001100100011
11111000001110110101001100100011
```

Деякі спостереження, засновані на швидких експериментах (я сподіваюся, що я правильно)

Існує 65536 цілих чисел типу X.
Існує 4096 цілих чисел типу X + Y. Це саме ті цілі числа типу X, які починаються з послідовності '0000 ...'
- інтуїція: з провідними нулями обертання = зсув?
Існує 256 цілих чисел типу X + Y + Z. Це саме ті цілі числа типу X, які починаються з послідовності '0000011111 ...'
- інтуїція: ??
Усі цілі числа типу Y також типу X.
Однак є також 768 цілих чисел типу Z, які не є ні типу X, ні типу Y. Вони починаються з "1000011111 ...", "0111100000 ..." або "1111100000 ..."

— Юкка Суомела
джерело

1

Це єдина відповідь, яка стосується того, чому множення Де Бреййна на 2 ^ n-1 працює, на відміну від 2 ^ n, що є лише зрушенням. Мені подобається, якби хтось міг розширити "інтуїцію" №3 вище. Як Ерік Коул придумав це? Метод спроб і помилок? Або деяке розуміння того, що насправді відбувається з бітами, коли ви помножите на 2 ^ n-1?

— FarmerBob

1

Звідки береться ця константа?

Цитуючи: "10 грудня 2009 року Марк Дікінсон відбив пару операцій, вимагаючи, щоб v було округлено до однієї менше, ніж наступна потужність 2, а не сила 2". [graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html]

Ця часткова константа - це послідовність Де Бруйна з двійковим алфавітом, але має додаткову властивість. Я буду називати це "властивістю Марка Дікінсона", оскільки оригінальний алгоритм міг бути реалізований без цих спеціальних послідовностей БД. Додавши дві додаткові операції, ми могли використовувати будь-яку звичайну послідовність БД. Операція: v ^ = (v >> 1); // clr всі біти, крім MSB, встановлені після каскадного або зсуву.

Результати (груба сила)

Seq.Type | № Цілі | № DBSeq. з | без обертань | з властивістю Дікінсона
B (2, 3) | 256 | 16 | 2 | 1
Б (2, 4) | 64Кі | 256 | 16 | 4
Б (2, 5) | 04Гі | 64Кі | 02Кі | 256
Б (2, 6) | 16Еі | 04Гі | 64Мі | ??

Особливе майно

${0x7C4ACDD}$ $*$ $2^k$ ${1}$ $\pmod {2^{32}}$ $32\ge k\ge1$ $2^k$ ${1}$

Лексикографічно найменші бінарні послідовності де Бреййна з властивістю Дікінсона

[B (2,3): 0x1D] [B (2,4): 0x0F2D] [B (2,5): 0x7C4ACDD] [B (2,6): Ще шукаю]

Якщо ви сподівалися на вишукану математичну формулу, яка б описала їх, або теорему для їх створення чи щось подібне, я думаю, що це потребує глибокого розуміння теорії чисел та, можливо, інших сфер, що не виходить за межі мого набору навичок. Якщо я де дивовижу здогадуюсь, я б заперечив, що їх можна виробляти за допомогою клітинних автоматів. Це не відповідь, чому? на жорсткій основі, але спроба інтуїтивно зрозуміти, чому це працює і чому він працює належним чином, тому ви можете використовувати це з упевненістю.

PS Я не висвітлював конструкцію LUT, яку легко вивести, якщо ви розумієте принципи роботи алгоритмів.

— ФранГ
джерело

Нарешті знайдено: B (2,6) 0x3f08a4c6acb9dbd - послідовність на 64-бітній обробці зі "властивістю Дікінсона". Я знайшов принаймні 122K таких послідовностей.

— ФранГ