Чи складно NP грати грати міжнародні шашки правильно?

Наступна проблема NP-важка?

Враховуючи конфігурацію дошки для міжнародних проектів , знайдіть єдиний законний крок.$n\times n$

Відповідна задача для американських шашок (також англійських чернеток) тривіально вирішується в поліноміальний час. Існують три основні відмінності між цими двома іграми.$n\times n$

Перша і найбільш істотна відмінність - це правило «літаючого короля». У шашках король може перестрибнути сусідній шматок противника на порожній квадрат за два кроки в будь-якій діагональній стороні. У міжнародних чернетках король може перестрибувати кусок суперника на довільну відстань, переміщуючи довільну відстань по діагоналі.

Як і в шашках, той самий шматок можна використовувати для зйомки серії штук за один виток. Однак, на відміну від шашок, захоплені фрагменти в міжнародних чернетках не видаляються, поки не закінчиться вся послідовність. Захоплюючий шматок може перестрибувати або висаджуватись на один і той же порожній квадрат кілька разів, але він може не один раз перестрибувати фігуру суперника.

Нарешті, і шашки, і міжнародні шашки мають правило примусового захоплення: Якщо ви можете захопити шматок противника, ви повинні. Однак правила правила не згодні, коли існує кілька варіантів для кратних. У шашках ви можете вибрати будь-яку максимальну послідовність зйомок; іншими словами, ви можете вибрати будь-яку послідовність захоплення, яка закінчується, коли захоплюючий фрагмент більше не може захопити. У міжнародних чернетках потрібно вибрати найдовшу послідовність зйомок. Таким чином, моя проблема рівнозначна наступному:

Враховуючи конфігурацію дошки для міжнародних чернеток , знайдіть хід, який фіксує максимальну кількість протилежних фігур.$n\times n$

Достатньо було б довести, що наступна проблема не є повною. (Очевидно, в НП.)

Враховуючи конфігурацію дошки для міжнародних чернеток, в яких беруть участь лише королі , чи може (і тому повинен) один гравець за один раз захопити всі фігури її суперника?$n\times n$

Відповідну задачу шашок можна відповісти в поліноміальний час; це розважальна вправа домашнього завдання. Проблема виглядає більш схожою на аналіз Демейна, Демена та Еппштейна щодо енд-ігор Футбол ; рішення розважальної вправи на домашнє завдання з’являється в кінці їх статті. Рішення також з'являється у статті FOCS 1978 Frankel et al. що доводить, що грати в шашки оптимально PSPACE; див. також доказ Робсона 1984 р. про те, що шашки насправді закінчені.

Гаразд, ось зменшення. Виявляється, вам просто не потрібна планарність. Також для "пошуку законного кроку" я приймаю питання щодо рішення як "чи є переміщення X законним?".

Спочатку давайте попрацюємо замість гри, де фігури рухаються ортогонально, а не по діагоналі. Ця гра рівнозначна (просто подивіться на чернетку дошки, повернуту на 45 градусів) за винятком крайових властивостей, якими ми не будемо користуватися. Ми використовуємо два гаджети: злиття / розділення та кросовер. Див. Http://www.hearn.to/draughts.pdf . Ми припускаємо, що на борту є єдиний Білий король. (Жоден інший твір не зможе захопити будь-яку значну кількість штук.) Він рухатиметься по зазначених коридорах, захоплюючи чорні шматки по дорозі.

По-перше, злиття: якщо король вступає на будь-який з N шляхів A (через захоплення чорного шматка, не показаний), він може вийти на B. Так само, якщо ми повернемо гаджет, і він увійде в B, захопивши показаний фрагмент, він може вийти по будь-якій стежці A (знову, захопивши зовнішній чорний шматок). Це гаджет для одноразового використання (адже чорний шматок виходу можна захопити лише один раз).

По-друге, кросовер. Якщо король в’їде через A (C), він може вийти в B (D). Він не може зупинитися в середині та змінити маршрути, оскільки це був би сегмент руху, що не захоплює.

Тепер, задавши спрямований графік, побудуйте відповідну конфігурацію гри наступним чином. Побудуйте для кожної вершини злиття, яке подається на розкол. Направляйте виводи розбиття на входи злиття вершинних гаджетів (злиття + розбиття), що відповідають вершинам, до яких підключаються вихідні краї, використовуючи кросовер за необхідності. Запустіть короля на додатковий вхід до будь-якої вершини (чорним шматочком, який потрібно захопити, щоб він увійшов у вершину).

Нарешті, вирівняйте всі "довжини країв", додавши додаткові чорні шматки вздовж вихідних / вхідних шляхів за потребою. Якщо є V вершини і k чорних шматочків уздовж кожного краю, то король може захоплювати 2V + kV + 1 шматки, якщо і лише за наявності гамільтонової схеми відповідного графіка. Якщо король має альтернативний хід, захоплюючи просту ланцюжок з 2В + кВ шматочків, то визначення того, чи є цей альтернативний хід законним, є NP-завершеним.

Ось можлива альтернатива скороченню Боба, на цей раз із (непрямого) гамільтонового циклу. Я не впевнений на 100%, що деталі є правильними - я вже виявив і виправив декілька проблем, - але впевнений, що це можна перетворити на правильне підтвердження. Як зазначає Боб, це зменшення має серйозну помилку; білий цар може легко відхилитися від свого канонічного шляху через дошку. Цю помилку можна виправити, додавши пристосований гаджет Боба у відповідні місця (я думаю) , але тоді він суттєво не відрізняється від його зменшення.

$G$$n$$m$$G$$-1$

$O(n^2)\times O(n^2)$$O(n^2+m)$$k$$k$$hn$$h$

$k$$k$$k$$(i,j)$$i$$j$$x$$y$

$hn^2+4n$$G$

Тепер чому ви не поставили мені цю проблему, коли я працював над дисертацією?

Гаразд, у мене скорочення від плоского направленого гамільтонівського циклу.