Наближення у субекспонентальний час

Існують дослідження алгоритмів апроксимації для повних задач NP у поліноміальному часі та точних алгоритмів у експоненціальному часі. Чи існують дослідження алгоритмів апроксимації для повних задач NP у субекспоненціальний час форми $2^{n^{\delta_2}}$ де ? $\delta_2\in(0,1)$

Мене особливо цікавить те, що відомо про важкі для поліноміального часу приблизні проблеми, такі як номер незалежності та число Кліка в піднепокоєнний час? Зауважте, що ETH забороняє точні обчислення лише в такій часовій рамці. Скажіть, число незалежності - на графіку з кількістю вершин для деяких . Чи можлива схема наближення фактора для числа незалежності у часі $\alpha(G)=2^{r(n)n}$ $|V|=2^{s(n)n}$ $0<r(n)<s(n)$ $2^{(r(n)n)^{\delta_1}}$ деі- деякі фіксовані позитивні значення? $2^{|V|^{\delta_2}}=2^{2^{\delta_2s(n) n}}$ $0<\delta_1<1$ $0<\delta_2<1$

Тобто для кожного чи є таким, що можна наблизити в межах коефіцієнт у часі $\delta_1\in(0,1)$ $\delta_2\in (0,1)$ $\alpha(G)$ $2^{\log_2^{\delta_1}(\alpha(G))}=2^{(r(n)n)^{\delta_1}}$ ? $2^{|V|^{\delta_2}}=2^{2^{\delta_2s(n) n}}$

approximation-algorithms approximation-hardness

— Т….
джерело

ви насправді мали намір запитати про підрядок часу запуску в незалежній кількості?

— Сашо Ніколов

Ні, час роботи є суб-експоненціальним. Повністю експоненціальна буде

. Тут час роботи має форму

і тут

2^{| V |}

$2^{|V|}$

2^{| V |^{δ_{1}}}

$2^{|V|^{\delta_1}}$

α (G) = 2^{r (n) n} = | V |^{\frac{r (n)}{s (n)}} < | V | = 2^{s (n) n}

$\alpha(G)=2^{r(n)n}=|V|^{\frac{r(n)}{s(n)}}<|V|=2^{s(n)n}$

— Т ....

У попередньому коментарі він повинен бути

і у нас є

δ_{2}

$\delta_2$

α (G) < | V | < 2^{| V |^{δ_{2}}} < 2^{| V |}

$\alpha(G)<|V|<2^{|V|^{\delta_2}}<2^{|V|}$

— Т ....

Я думаю, що раніше вводили помилки.

— Т ....

Чи ясно зараз?

— Т ....

Відповіді:

Один документ, який дає відповідь на це питання - Chalermsook, Laekhanukit, & Nanongkai (2013) .

Також є споріднені роботи в контексті простежуваності фіксованих параметрів, такі як Hajiaghayi, Khandekar, & Kortsarz (2013) та Chitnis, Hajiaghayi, Kortsarz (2013) . Ці результати твердості підтверджуються різними припущеннями, такими як ETH або існування дуже сильних PCP.

— Ігор Шинкар
джерело

arxiv.org/pdf/1308.2617v2.pdf говорить: "Для будь-якого

більшого від деякої постійної, будь-який алгоритм апроксимації

для максимальної задачі незалежного набору повинен працювати щонайменше за

. Це майже відповідає верхній межі

". Таким чином, відношення

може бути досягнуте в

r

$r$

r

$r$

2^{n^{1 - ϵ} / r^{1 + ϵ}}

$2^{{n^{1-\epsilon}}/{r^{1+\epsilon}}}$

2^{n / r}

$2^{n/r}$

r = 2^{(s (n) n)^{δ_{1}}}

$r=2^{({s(n)n})^{\delta_1}}$

час для деякого

2^{2^{r (n) n - (s (n) n)^{δ_{1}}}} = 2^{2^{1 - \frac{(s (n) n)^{δ_{1}}}{r (n) n} r (n) n}} = 2^{2^{δ_{2} r (n) n}}

$2^{2^{r(n)n - ({s(n)n})^{\delta_1}}} = 2^{2^{1 - \frac{({s(n)n})^{\delta_1}}{r(n)n}r(n)n}}=2^{2^{\delta_2 r(n)n}}$

δ_{2} > 1 - \frac{(s (n))^{δ_{1}} n^{δ_{1} - 1}}{r (n)}

$\delta_2 >1 - \frac{({s(n)})^{\delta_1}{n}^{\delta_1-1}}{r(n)}$

— Т ....

У вас є багато алгоритмів (наближення фіксованого параметра), для яких підлінійний параметр переводиться на субекспоненціальний час у довжину введення. $FPA$

Наприклад, наближення кількості простих шляхів довжиною , для деяких (де ), дає вам час виконання: $k$ $k=n^c$ $c<1$

$O((2e)^{n^c}\cdot 2^{polylog(n)})$

— РБ
джерело