Точні алгоритми для r-домінантного набору на обмежених графіках ширини

З огляду на графік, , я хочу , щоб знайти оптимальний г -domination для G . Тобто, я хочу підмножина S з V таким чином, що всі вершини в G знаходяться на відстані не більше ніж г від деякої вершини в S , при зведенні до мінімуму розміру S .$G = (V, E)$$r$$G$$S$$V$$G$$r$$S$$S$

З того, що я перевірив, я отримав наступне: Існує така пов'язана проблема пошуку -центру в графі, який є підмножиною S розміром не більше k таким, що всі вершини в графі на відстані щонайменше r від деякої вершини в S (тут обидва | S | ≤ k і r - частини вводу), для яких Demaine et al . мають алгоритм FPT для плоских графіків. Інакше проблема W [ 2 ] -тверда для рівного r = 1 .$(k,r)$$S$$k$$r$$S$$|S| \leq k$$r$$W[2]$$r = 1$

Чи відомо щось про точну складність задачі домінування для обмежених графіків ширини дерев або навіть лише для дерев? (Чи визначено M-домінацію r- домінування? Зазвичай задана задана множина k- домінування MSO - яка тоді дозволила б використовувати теорему Courcelle для висновку про існування лінійного алгоритму часу для задачі). Чи відомі якісь результати умовної твердості щодо цієї проблеми?$r$$r$$k$

(Оптимальне) домінування для G - це (оптимальне) домінування для r- ї сили G r і навпаки ( G r отримується з G шляхом додавання нових ребер між різними вершинами відстані не більше r ).$r$$G$$r$$G^r$$G^r$$G$$r$

Такі загальновідомі факти: (1) Усі сили сильно хордального графіка сильно хордальні (А. Лубів, магістерська робота; див. Також Дальхаус і Дюше, Про сильно хордальні графіки, Ars Combin. 24 B (1987) 23-30 ), та (2) Домінування вирішується в лінійному часі для сильно хордальних графіків (М. Фарбер. Домінування, незалежне домінування та подвійність у сильно хордальних графах, Дискретний додаток. Математика, 7 (1984) 115–130). Отже, -домінування вирішується в поліноміальний час для сильно хордальних графіків, зокрема для дерев ( r фіксовано чи ні).$r$$r$

Гурський & Ванка доведена в даній роботі , що Кліка-ширина становить не більше 2 ⋅ ( г + 1 ) ТВта ( G ) + 1 - 2 , де TW ( G ) є дерево-шириною G . Таким чином, для фіксованих r , r- й сили обмежених графіків ширини дерева обмежили ширину кліки. Отже, для фіксованого r , r- домінація вирішується в поліноміальний час для обмежених графіків ширини дерева (за теоремою Курсерлла). $G^r$$2\cdot (r+1)^{\text{tw}(G)+1}−2$$\text{tw}(G)$$G$$r$$r$$r$$r$

Для цієї проблеми досить просто зробити динамічне програмування на графіках ширини . Можна зберігати для кожної вершини в мішку найменшу відстань до деякої вершини в частковому розчині та відстань до майбутнього рішення, необхідне для домінування над непризначеними вершинами.$k$

Це в цілому дає розмір таблиці тому для фіксованих r ця проблема FPT параметризується по ширині, проте якщо r не виправлено, це стає алгоритмом XP. Наскільки мені відомо, питання про те, чи є ця проблема FPT для всіх значень r, є відкритим.$O(r^k)$$r$$r$$r$

Давар і Кройцер показали, що проблема є фіксованим параметром, який можна простежити на ніде щільних класах графіків, що включає плоскі графіки, графіки обмеженої (локальної) ширини дерев і всі класи з (локально) виключеними неповнолітніми.

Дворак показав, що для класів обмеженого розширення існує наближення коефіцієнта поліноміального часу, яке включає плоскі графіки, графіки обмеженої ширини дерева та всі класи з виключеними неповнолітніми.

Існує нещодавній документ Glencora Borradaile, Hung Le: Оптимальна динамічна програма для проблем з домінуванням над декомпозиціями дерев (IPEC 2016). Тут вони показують, що існує алгоритм, який задає у якості введення графік , ціле число r та дерево-декомпозицію G ширини w , обчислює оптимальний r -домінуючий набір G за час O ( ( 2 r + 1 ) ш п ) . Крім того, вони показують, що це найкраще, що можна зробити, у наступному сенсі: алгоритм із часом виконання O ( ( $G$$r$$G$$w$$r$$G$$O((2r+1)^wn)$ при ϵ > 0 суперечить би гіпотезі сильного експоненціального часу.$O((2r+1-\epsilon)^wn^{O(1)})$$\epsilon > 0$

Лінійний послідовний алгоритм для обчислення оптимального r-домінування для дерева обумовлений Слейтером:

П. Слейтер. R-домінування в графах. J. ACM, 23 (3): 446–450, липень 1976. doi: 10.1145 / 321958.321964

Розподілений алгоритм для тієї ж настройки обумовлений Турау та Келером:

Волкер Турау та Свен Келер. Розподілений алгоритм мінімального домінування в деревах. Журнал алгоритмів та застосувань графіків, 19 (1): 223–242,5 (див. Http://jgaa.info/getPaper?id=354 )