Гіпердоктрини та Монадична логіка другого порядку

Це питання, по суті, питання, яке я задав на Mathoverflow.

Монадична логіка другого порядку (МСО) - це логіка другого порядку з кількісним визначенням на одинарні предикати. Тобто кількісна оцінка за множинами. Існує кілька логік MSO, які є основоположними для структур, що вивчаються в галузі інформатики.

Питання 1. Чи існує категорична семантика для Монадичної логіки другого порядку?

Питання 2. Трактування категоричної логіки часто говорить про "інтуїціоністичну логіку вищого порядку". Чи правильно я вважаю, що вони мають на увазі функції вищого порядку, а не кількісні визначення за предикатами другого порядку?

Питання 3. (Додано, 8 листопада 2013 р., Після відповіді Ніла) Моє розуміння кількісного визначення першого порядку (з точки зору подання Пітса, згаданого нижче) полягає в тому, що воно визначене відносно відступу морфізму проекції . Зокрема, універсальне кількісне визначення інтерпретується як праве суміжне з а екзистенціальне кількісне визначення інтерпретується як лівий суміжний з . Ці суміжні речовини повинні задовольняти деяким умовам, які я іноді бачив як умови Бека-Шевалі та Фробеніуса-Реципрокності.$\pi^*$$\pi$$\pi^*$$\pi^*$

Тепер, якщо ми хочемо кількісно оцінити предикати, я вважаю, що я є декартовою закритою категорією, картина майже однакова, за винятком того, що внизу має іншу структуру, ніж раніше.$X$

$$\exists_{I,X}, \forall_{I,X}: P_C(I\times X) \to P_C(I)$$

Це так?

Я вважаю, що мій ментальний блок був через те, що я раніше мав справу з гіпердоктринами першого порядку, і мені не потрібно було категорію закривати декартовою, і не вважала її пізніше.

Передумови та контекст. Я працював над викладом категорійної логіки Енді Піттса у статті « Довідник логіки в галузі комп'ютерних наук» , але я також знайомий з поводженням теорії Тріпоса в його докторській дисертації, а також із записками Аводі та Бауера. Я почав вивчати категорії "Кроли" для Кроля та книгу Ламбека та Скотта, але минуло час, коли я порадився з останніми двома текстами.

Для мотивації мені цікавий вид логіки MSO, що міститься в наведених нижче теоремах. Я не хочу мати справу з логікою, яка виразно рівнозначна одній із них. Це означає, що я не хочу кодувати монадичні предикати з точки зору функцій вищого порядку, а потім мати справу з іншою логікою, але я радий вивчити семантику, яка включає таке кодування під кришкою.

1. (Теорема Буечі та Елго) Коли у Всесвіті структур є кінцеві слова над скінченним алфавітом, мова є регулярною точно, якщо вона визначається в MSO з інтерпретованим предикатом для вираження послідовних позицій.
2. (Теорема Буечі ) Коли у Всесвіті структур є -слова над обмеженим алфавітом, мова є -регулярною, якщо вона визначена в MSO з відповідним інтерпретованим присудком.$\omega$$\omega$
3. (Теорема Тетчер та Райт) Набір кінцевих дерев розпізнається автоматичним кінцевим деревом знизу вгору саме в тому випадку, якщо він визначається в MSO за допомогою інтерпретованого предиката.
4. WS1S - це слабка монадична теорія другого порядку одного наступника. Формули визначають набори натуральних чисел, а змінні другого порядку можуть інтерпретуватися лише як кінцеві множини. WS1S можна визначити за допомогою кінцевих автоматів, кодуючи кортежі натуральних чисел як кінцеві слова.
5. (Теорема Рабіна) S2S - теорія другого порядку про двох наступників. S2S може вирішити автомат Rabin.

1. Не знаю!

2. Ні, ваше припущення невірно. Ви можете кількісно оцінити функції вищого порядку та предикати в IHOL (насправді, предикати - це лише функції, що входять до типу пропозицій). Установка виглядає приблизно так:

   $$\begin{array}{llcl} \mbox{Sort} & \omega & ::= & \omega \to \omega \;\; | \;\; \omega \times \omega \;\; | \;\; 1 \;\;|\;\; \mathrm{prop} \;\;|\;\; \iota\\ \mbox{Term} & t & ::= & x \;\;|\;\; \lambda x.t \;\;|\;\; t\;t' \;\;|\;\; (t,t) \;\; | \;\; \pi_1(t) \;\;|\;\; \pi_2(t) \;\;|\;\; () \\ & & | & p \Rightarrow q \;\;|\;\; \top \;\;|\;\; p \wedge q \;\;|\;\; \bot \;\;|\;\; p \vee q \\ & & | & \forall x:\omega.p \;\;|\;\; \exists x:\omega.p \;\;|\;\; t =_\omega t' \\ & & | & f(\vec{t}) \end{array}$$

Ви даєте звичайні правила набору тексту, щоб оцінити чітко сформований термін. Перший рядок термінів - це звичайне просто набране лямбда-числення, другі два рядки - пропозиції логіки вищого порядку (введені як елементи$\mathrm{prop}$), а третій рядок - це будь-які константи, які ви використовуєте для формування індивідів (елементів $\iota$).

Тоді ідея полягає в тому, що ви хочете розширити семантику Крипке для інтуїтивістської логіки першого порядку на логіку вищого порядку, розширивши семантику гіпердоктрина з додатковою структурою. Гіпердоктрина першого порядку - функтор$P : C^\mathrm{op} \to \mathrm{Poset}$ між категорією $C$ з продуктами (використовуються для інтерпретації термінів у контексті) та категорією постів (решітки із значенням істини), що відповідають деяким умовам, щоб зробити заміну правильним.

Щоб потрапити в IHOL, ви додатково запевняєте це

1. $C$ є декартовою закритою (для моделювання здатності кількісно оцінювати типи функцій), і
2. $C$ має внутрішню алгебру Гейтінга $H$ задоволення властивості, яка для кожного $\Gamma \in C$, $\mathit{Obj}(P(\Gamma)) \simeq C(\Gamma, H)$. Ти використовуєш$H$ моделювати $\mathrm{prop}$, і ізоморфізм говорить вам, що терміни типу $\mathrm{prop}$ дійсно відповідають цінностям істини.

Ця структура є майже «елементарним топосом». Якщо ви додатково цього вимагаєте$P(\Gamma)$ являє собою групу суб'єктів $\Gamma$, то ти там. (Це по суті говорить про те, що ви можете додати принцип розуміння до своєї логіки.)