(Помилкове?) Доказ обчислюваності функції?

19

Розглянемо , функція, яка повертає 1 iff нулі, з'являються послідовно в . Тепер хтось дав мені доказ того, що обчислюється: $f(n)$ $n$ $\pi$ $f(n)$

Або для всіх n з'являється в , або є am st з'являється в і не має. Для першої можливості ; Для другого iff , 0 в іншому випадку. $0^n$ $\pi$ $0^m$ $\pi$ $0^{m+1}$ $f(n) := 1$ $f(n) := 1$ $n \leq m$

Автор стверджує, що це доводить обчислюваність , оскільки існує алгоритм його обчислення. $f(n)$

Чи правильно це підтвердження?

computability

— Майк Б.
джерело

2

Ви можете використовувати латекс у своїх питаннях, щоб зробити їх більш зрозумілими.

— Дейв Кларк

7

Аргумент правильний, але не конструктивний. Людина не дає вам ТМ, він дає вам дві ТМ і повідомляє, що одна з них обчислює потрібну вам функцію, але не знає, яку.

— Каве

1

Ваша версія обчислюється. Однак я неправильно прочитав і випадково знайшов версію, яку, на мою думку, є непорушною. Єдина зміна: замість рівно n нулів запитайте, чи має π максимум n нулів. Якщо це дійсно так, я вважаю, що ви не можете цього підтвердити, оскільки π має нескінченну кількість цифр і там (здається?) Відсутній шаблон знову.

— chazisop

Одного разу я виправив сторінку Вікіпедії, яка зробила пов’язану помилку, стверджуючи, що існування константи Хайтіна доводило існування "незрівняних цілих чисел".

— Джеффрі Ірвінг

ці типи питань, як правило, ставляться до "тривіальних мов". але зауважте, як правило, незначне переформулювання, наприклад, де мова є

де

- (або 1-е) розташування рядка

або -1, якщо такої рядка немає, може бути невирішеним. див. також, як можна визначити, що

має деяку послідовність цифр? / Інформатика

f (n, k) = m

$f(n, k) = m$

m

$m$

0^{k}

$0^k$

π

$\pi$

— vzn

23

Подумайте про це так, Майк: Цей доказ "розгалужується" на кілька можливих випадків, один з яких повинен бути істинним (використовуючи закон виключеного середини, що для кожного пропозиції , або є істинним, або є істинним). Але наприкінці кожної з цих гілок вам завжди вдається довести, що функція обчислюється. Тому незалежно від того, який із справ насправді має місце в реальному житті, повинен бути обчислюваним. (Однак точна причина, через яку можна обчислити, буде різною, залежно від галузі.) $p$ $p$ $\neg p$ $f$ $f$ $f$

— Райан Вільямс
джерело

16

Це правильно. Це те саме, що є наступним: визначити постійною функцією якщо Бог існує, і якщо Бога немає. Отримана функція є постійною функцією, таким чином обчислюється. Що ви, можливо, не зможете зробити, це надати цю функцію, але сама функція обчислюється. $f(x)$ $x \mapsto 0$ $x \mapsto 1$

$m$ $x \mapsto 1$ $m$

— Міхаель Каділхак
джерело

4

P \neq N P

$P \neq NP$

m

$m$

5

Насправді немає сенсу говорити про те, чи є ціле число обчислюваним чи ні. Яке б значення не приймало, є машина Тюрінга, яка виводить його. Зробити це може бути важко, звичайно, але це не так вже й відрізняється від загальної ситуації: пошук алгоритмів важкий, тому факт, що багатьох з нас не працює.

— Аарон Рот

0^{m}

$0^m$

π

$\pi$

0^{m + 1}

$0^{m+1}$

m

$m$

m

$m$

m

$m$

0

$0$

14

Я думаю - і сподіваюся - що кожен студент інформатики стикається з цією проблемою, яка відчуває себе парадоксоном. Це дуже хороший приклад різниці обчислюваного в сенсі TCS та обчислюваного в практичному розумінні.

$\pi$ $\pi$

$f$ $\exists M \in TM : f_M = f$

Основна ідея доказу: я надаю вам нескінченний клас функцій, усі вони обчислювані (щоб показати тут тривіально). Тоді я доводжу, що функція, яку ви шукаєте, знаходиться у тому класі (щоб показати тут відмінність випадків). qed

— Рафаель
джерело

9

Так, це правильно, його обчислимо. Проблема полягає в тому, що ваша функція насправді не виробляє рішення для нескінченного сімейства проблем, а спосіб (скажімо) функція, що обчислює рішення проблеми зупинки, - тому немає проблем з обчисленнями. Натомість ви представляєте у формі функції якийсь єдиний математичний факт з кінцевим поданням - або цілим числом, або тим, що f - постійно 1 функція

$\Omega$

Пошук правильного алгоритму, звичайно, може бути важкою проблемою. Але знайти правильні алгоритми зазвичай важко!

— Аарон Рот
джерело

3

допис трохи старий, але хотів опублікувати ще одну відповідь.

Це неконструктивний доказ (або аргумент) обчислюваності. Це просто говорить про те, що функція повинна існувати в якомусь сенсі, оскільки я можу представляти її (або правильніше її індексувати) у наборі (або Всесвіті) обчислюваних функцій. Однак він ні будує машину сам (тобто алгоритм), ні індекс (припускаючи ефективне перерахування обчислювальних машин). Англійська фраза " спасибі за нічого " в цих випадках здається найбільш доцільною, як наступна:

-- Look, I proved there is water somewhere! 

Now you can be happy, while dying from thirst!

Люди в історії математики досить багато сперечалися щодо фактичної обгрунтованості (або діапазону дійсності) та значення таких аргументів. Кінцевий результат полягає в тому, що однотипні аргументи знову з’являються в теоремах про незавершеність Геделя і обертаються проти цього «замкнутого припущення Всесвіту» .

Якщо ви не любите ці аргументи так сильно, я б не звинувачував вас.

— Нікос М.
джерело