Чи міститься в ?

Я думав, що поділюсь цим питанням, оскільки це може бути цікавим для інших користувачів тут.

Припустимо, що функція, що перебуває в однорідному класі (як ), також є в малому неоднорідному класі (наприклад, , тобто неоднорідний ), це означає, що функція міститься в меншому однорідному класі ( як )? Якщо відповідь на це питання є позитивною, який найменший клас рівномірної складності містить ? Якщо негативно, чи можемо ми знайти цікавий природний контрприклад? $NP$ $AC^0/poly$ $AC^0$ $P$ $NP \cap AC^0/poly$

Чи міститься в ? $AC^0/poly \cap NP$ $P$

Примітка. Друг вже частково відповів на моє запитання в режимі офлайн, я додаю його відповідь, якщо він сам не додасть його.

Питання - це моя друга спроба формалізувати таке неформальне запитання:

Чи може нерівномірність допомогти нам у обчисленні природних єдиних проблем?

Пов'язані:

Чи є кандидат на природну проблему в ? $P/poly−P$

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— Каве
джерело

@Kaveh: Можливо, цікавим питанням було б задати природну проблему в P / poly та NP, але не в P. (А може, це занадто просто?)

— Робін Котарі

@Robin: що здається цікавим, але я не впевнений , що це було б легше знайти природну проблему в

N P \cap P / p o l y - P

$NP \cap P/poly - P$

— Каве

@all: Мені потрібно трохи подумати над цим питанням та відповідями. Це здається дуже природним питанням. Але я відчуваю себе непросто щодо відповідей: по-перше, ми можемо послабити припущення, замінивши

на

де

дуже швидко зростає функція; по-друге, контрприклад є не просто в

N E X P \neq E X P

$NEXP \neq EXP$

N T i m e (f) \neq D T i m e (f)

$NTime(f) \neq DTime(f)$

f

$f$

A C^{0} / p o l y

$AC^0/poly$ але має схеми розміром 1, оскільки функція є постійною на всіх входах розміру

для всіх

! Ці дві причини можуть говорити, що це не правильне питання.

n

$n$

n

$n$

— Каве

@Kaveh: Можливо, ви захочете подивитися на клас YP, визначений Скоттом Ааронсоном. Це як P / poly, але "пораді" не довіряти. Іншими словами, це як NP NP перетинається coNP, але свідок може залежати лише від вхідної довжини. YP знаходиться в P / poly і є рівномірним класом. Можливо, проблема в YP, але не в P - це приклад проблеми, яку ви шукаєте. Це було б природно, рівномірно, не в P, в P / poly і, можливо, нетривіально, оскільки поради повинні бути перевірені схемою.

— Робін Котарі

@Kaveh: Клас YP ("Yod Polynomial-Time") більш офіційно визначений у статті Скотта "Навчання квантових станів" [Quant-ph / 0608142]

— Алессандро

Відповіді:

Ось спрощення відповіді Райана. Нехай . Визначте мову . Припущення переводить до . Також тривіально . $\Lambda \in NE \setminus E$ $L = \{x : |x| \in \Lambda\}$ $\Lambda \in NE \setminus E$ $L \in NP \setminus P$ $L \in AC^0/poly$

— Юваль Фільм
джерело

Гарна відповідь Ювал!

— Дай Ле

По суті те саме перетворення використовується в Книзі 1974 року, щоб показати, що E ≠ NE тоді і тільки тоді, коли NP ∖ P містить загальну мову.

— Цуйосі Іто

Просто для впевненості: чи правильно я розумію, що

чи довжина

написана унарною?

| x |

$|x|$

x

$x$

— Вінсент

@Vincent Тут

- це рядок, а не ціле число, і

- його довжина.

x

$x$

| x |

$|x|$

— Yuval Filmus

так, це мене бентежить. Якщо

- довжина якоїсь струни, то

це ціле число, то як воно може бути елементом

| x |

$|x|$

| x |

$|x|$

Λ

$\Lambda$

— Вінсент

Відповідь на ваше перше запитання: Мабуть, малоймовірно.

Теорема: Якщо , то . $NP \cap AC^0/poly \subseteq P$ $NEXP = EXP$

З огляду на схему яка видає трохи, визначте декомпресію C як бітову рядок, отриману шляхом оцінки на всіх можливих входах. Тобто декомпресія - . $C$ $C$ $C(0^n) C(0^{n-1}1) C(0^{n-2}10) \cdots C(1^n)$

Визначити проблему Succinct 3sat як: дана схема розміру , робить його декомпресії кодують здійсненним булеву формулу? $C$ $n$ Хороший 3SAT добре відомий тим, що завершений. $NEXP$

Тепер розглянемо мову

{ціле число записане двійковим кодом, є екземпляром Succinct 3SAT} так. $L =$ $1^n |$ $n$

чітко в , оскільки ви можете просто жорстко вказувати, чи є в , для кожного . $L$ $AC^0/poly$ $1^n$ $L$ $n$

також в : ціле число записане у двійковій формі, має довжину приблизно , тому декомпресія цієї схеми має довжину не більше . Отже, задовольняюче завдання має довжину не більше . $L$ $NP$ $n$ $\log n$ $O(n)$ $O(n)$

Але за тими ж спостереження, якщо , то , тому що це означає , що у вас є алгоритмом часу для прийняття рішення кожного примірника стисненого 3SAT довжиною . $L \in P$ $NEXP=EXP$ $O(n^c)$ $\log n$

Ваше друге запитання є широко відкритим (і відкритим).

— Райан Вільямс
джерело

Чому потрібно прийняти якусь повну проблему?

— Yuval Filmus

Думав, що це полегшило наслідування.

— Райан Вільямс

Дякую, Райан, за гарну відповідь та пояснення. Я думаю, ви б не заперечували, якщо я прийму відповідь Юваля, хоча ви були першою людиною, яка написала це повідомлення.

— Каве

На питання Каве "Чи може нерівномірність допомогти нам у обчисленні природних єдиних задач?"

Я думаю, що відповідь іноді "так". Розглянемо, наприклад, проблему підмножини підсумків : задавши послідовність позитивних дійсних чисел, вирішіть, чи підмножина з них дорівнює . Це складна проблема NP, навіть якщо вона обмежена позитивними цілими числами (Рюкзак). Але Фрідгельм Мейєр ауф дер Хайде (1984) показав, що для будь-якого проблема може бути вирішена деревом лінійних рішень глибиною менше . У такому дереві тести мають форму: це лінійна комбінація вхідних змінних, більша за деякий поріг. Тут важлива нерівномірність: для кожного нас може бути абсолютно різний алгоритм (дерево рішень). $n$ $1$ $n$ $n^5$ $n$

Список літератури:

Фрідгельм Мейєр ауф дер Хайде, " Алгоритм лінійного поліноміального пошуку для задачі n-мірного рюкзака ", 1984

— Стасіс
джерело

Дякую. Цікавий результат, але дивлячись на алгоритм лінійного поліноміального пошуку для задачі n-мірного ранку , мені здається, що це трохи обман. Розмір неоднорідної програми є експоненціальним, лише глибина є поліноміальною, це як розгляд усього дерева обчислень алгоритму NP на входах розміру

(це як би схеми експоненціальної величини глибини полінома).

n

$n$

— Kaveh

Аналогічним аргументом можна сказати, що будь-яка проблема вирішується за постійний час

, оскільки таблиця відповідей може бути виражена CNF. Мені більше подобається конструкція Райана та Юваля, тому що це показує, що хоча ця проблема є складною в однаковій обстановці, для кожного розміру введення вирішити її дуже просто.

2

$2$

— Каве

Каве, ти маєш рацію: тут нас цікавить час (= глибина), а не простір (= журнал розміру мережі). Але зауважте, що тривіальний алгоритм для Subset-Sum потребує часу (глибини)

щоб перевірити всі підмножини даного вхідного рядка. Крім того, я подумав, що ви запитаєте про природних кандидатів, а не лише про розлуку :-)

2^{n}

$2^n$

— Stasys

Звичайно, проблема Subset-Sum має тривіальний недетермінований алгоритм: просто відгадайте підмножину, що підсумовує до

. Але ми говоримо про детерміновані алгоритми. А майєр ауф дер Хайде - детермінований. До речі, я також не дуже схвильований його результатом. Якби він показав це для розміру (не лише для глибини = час), ми вже мали б

. І все-таки це один із результатів.

1

$1$

N P \subseteq P / p o l y

$NP\subseteq P/poly$

— Стасіс

@Kaveh: Але NP сам по собі є великим АБО P. "Часова версія" P проти NP: чи можемо ми замінити це велике АБО детермінованим алгебраїчним деревом рішень поліноміальної глибини (з P на листках)? Нагадаємо, що тривіальна глибина для Subset-Sum дорівнює 2 ^ n (не n). Допкін і Ліптон (1978) показали, що глибина n ^ 2/2 необхідна, і поширюється думка, що це можна вдосконалити до n ^ k для будь-якого k. Mayer auf der Heide спростував це переконання: k = 5 достатньо. Таким чином, нерівномірність МОЖЕ допомогти, якщо нас цікавить глибина (час).

— Стасіс