Наслідки алгоритму квазіполіноміального часу для задачі графіка ізоморфізму

Проблема Графічного ізоморфізму (ГІ), мабуть, є найбільш відомим кандидатом на NP-проміжну проблему. Найвідоміший алгоритм - це субекспоненціальний алгоритм із часом виконання . Відомо, що GI не є-комплектним, якщополіноміальна ієрархія неруйнується. $2^{O(\sqrt{n \log n})}$ $\mathsf{NP}$

Якими були б теоретичні наслідки складності алгоритму квазіполіноміального часу для задачі Графічного ізоморфізму?
Чи може квазіполіномний алгоритм часу для GI спростувати будь-які відомі гіпотези теорії складності?

Інші подібні проблеми, такі як проблема мінімального домінування в турнірах, проблема групового ізоморфізму та проблема ізоморфізму турніру мають алгоритми квазіполіноміального часу ( QP ). Пізніші дві проблеми є поліноміально-часовими.

Чи можемо ми ефективно зменшити проблему мінімального домінуючого набору в турнірах до GI?
Чи є якась здогадка, що виключає, що GI є важким для QP?

Оновлення (2015-12-14) : Бабай опублікував попередній проект документа на arXiv для свого алгоритму квазіполіноміального часу для GI.

Оновлення (2017-01-04) : Бабай відмовився від твердження про те, що алгоритм знаходиться в квазіполіномічному часі, згідно з новим аналізом алгоритм знаходиться в субекспоненціальному який знаходиться всередині . $\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))$ $2^{n^{o(1)}}$

Оновлення (2017-01-09) : Бабай відновив заяву про квазіполіномічний час, замінивши процедуру порушень на більш ефективну.

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

Я думаю, що багато людей думають, що у нього є поліноміальний алгоритм часу, і AFAIK такий алгоритм не мав би жодних теоретичних наслідків складності.

— Гек Беннетт

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

Через два роки я вважаю, що у нас є відповідь. Ласло Бабай довів, що GI має квазіполіномальний алгоритм часу. Джерело: lucatrevisan.wordpress.com/2015/11/03/…

— користувач3415207

@ user3415207 Бабай відкликав претензію на квазіполіноміальне виконання . Мабуть, в аналізі була помилка.

— Рафаель

@Raphael ... і Бабай відновив свою претензію (така ж посилання, як і ваша).

— Денні

Відповіді:

Наскільки я можу сказати, якщо ви просто запитаєте про наслідки самого факту (як чорного поля), що GI знаходиться в QP, я вважаю, що відповіді дуже мало. Я можу подумати, що не є теоремою, а наслідком для напрямків досліджень, - це груповий ізоморфізм. Оскільки GroupIso зводиться до GI, і ми навіть не знаємо, чи GroupIso знаходиться в P, введення GroupIso в P може розглядатися як важлива перешкода для введення GI в P (якщо ви вважаєте, що це може бути так).

Однак, оскільки тривіальний алгоритм для GroupIso є , тоді, коли складність GI була вище на $n^{\log n + O(1)}$ $2^{\tilde O(\sqrt{n})}$

— Джошуа Грохов
джерело

n^{O (\log \log n)}

$n^{O(\log \log n)}$

n^{O (\log \log n)^{c}}

$n^{O(\log \log n)^c}$

c

$c$

@JoshuaGrochow Чи погоджуєтесь ви зі мною, що підхід Франсуа Ле Ґолла та Девіда Дж. Розенбаума в роботі Про проблеми групи та кольорового ізоморфізму має сенс? Або принаймні, що вони ставляться до деяких питань, які можуть виникнути після отримання базового розуміння результату Ласло Бабая?

— Томас Клімпель

@ThomasKlimpel: Я погоджуюся, що їхній документ має сенс, хоча я ще не бачу, як скористатися їхніми уявленнями (незважаючи на розуміння більшості доказів Бабая).

— Джошуа Грохов

β_{k} P

$\beta_k P$

$\varnothing$ $\Sigma^*$

— Еміль Єржабек підтримує Моніку
джерело

Якими були б теоретичні наслідки складності алгоритму квазіполіноміального часу для задачі Графічного ізоморфізму?

Більш-менш схожі на наслідки алгоритму детермінованого поліноміального часу для тестування первинності, алгоритму детермінованого поліноміального часу для лінійного програмування та іншого випадку, коли були відомі практично ефективні (рандомізовані) алгоритми (з рідкісними патологічними прикладами, коли алгоритм став неефективним) і використовується упродовж тривалого часу. Це підтверджує припущення, що практична ефективність є хорошим показником існування детермінованих теоретичних алгоритмів, що долають питання рідкісних патологічних прикладів.

Чи може квазіполіномний алгоритм часу для GI спростувати будь-які відомі гіпотези теорії складності?

Ні, здогадки, скоріше, переходять на протилежну ділянку, а саме, що GI знаходиться у P. Оскільки GI знаходиться в NP, не вдасться незабаром спростувати цей вид гіпотези.

Чи можемо ми ефективно зменшити проблему мінімального домінуючого набору в турнірах до GI?

Мінімальний набір домінування не є проблемою ізоморфізму, отже, немає жодної причини, чому слід очікувати, що він може бути приведений до ГІ.

Чи є якась здогадка, що виключає, що GI є важким для QP?

Ми навіть не знаємо, як звести проблему струнного ізоморфізму до Ж, і це, принаймні, проблема ізоморфізму. Доказ Бабая показав, що струнний ізоморфізм був у QP, тож ... І що важко для QP навіть означає? Важко за скорочення поліноміального часу?

Від впровадження проблем про груповий та кольоровий ізоморфізм Франсуа Ле Голл та Девід Дж. Розенбаум

Складність проблем тестування ізоморфізму заслуговує на вивчення як тому, що вони є основними обчислювальними питаннями, так і тому, що багато з них, як відомо, не знаходяться в P, але, тим не менш, здаються, що вони легші, ніж проблеми, що завершуються NP. Найбільш вивченою з них є проблема графіка ізоморфізму.

$\mathsf{GI}^*$ $\mathsf{GrI}^*$ Визначено (у вищенаведеній статті, але автори справедливо задаються питанням, чому ніхто раніше цього не робив), які додають відсутні частини з проблеми струнного ізоморфізму. (І проблема ізоморфізму кольорів - це лише інша назва проблеми рядкового ізоморфізму. Проблема з автоматизмом кольорових назв переходить до початкових статей Бабая і Лукса. Ізоморфізм рядка назви з’являється пізніше в їх роботі про канонічне маркування.)

$\mathsf{GI}^*$

Редагувати: Ця відповідь була надана в контексті відкликання результату Бабая, перш ніж він оголосив про виправлення. Це дозволяє припустити, що незначне узагальнення проблеми ізоморфізму графа, запропонованого струнною ізоморфізмом, є дійсно важливою проблемою. Тут неявне сподівання полягає в тому, що будь-який розумний алгоритм задачі графіка ізоморфізму призведе до подібного алгоритму для узагальненої задачі ізоморфізму графа. Узагальнена задача - поліноміальний час, еквівалентний задачі стабілізатора задачі , проблемі перетину групи, проблемі перетину козета, заданій задачі транспортера , ... Ідея цього очікування полягає в тому, що узагальнена задача відбуватиметься в рекурсивній частинібудь-якого розумного алгоритму, тому його потрібно вирішити все одно. (І цілком можливо, що узагальнена задача є поліноміальним часом, еквівалентним графу ізоморфізму.)

Тепер коментарі Джошуа Грохова вказують на те, що я не мав успіху в поясненні концептуальної важливості відсутніх фрагментів з проблеми струнного ізоморфізму. Для нескінченних структур може бути простіше зрозуміти, що дійсний ізоморфізм повинен не просто зберігати дану структуру, а й належати до відповідної категорії функцій (наприклад, до категорії безперервних функцій). Для кінцевих структур аналогічне явище здебільшого трапляється для коефіцієнтів, де відповідна категорія функцій повинна бути сумісною із заданими коефіцієнтами. Дані про Джонсона є типовим прикладом таких коефіцієнтів, наприклад, логіка розділів працює над двома підмножинами елементів деякого базового набору. Також зауважте, що обмеження дозволеної категорії для ізоморфізмів часто полегшує проблему тестування ізоморфізму,

Проблема з узагальненнями проблеми графіка ізоморфізму - де зупинитись. Чому б не узагальнити так, щоб охопити проблему ізоморфізму пермутаційної групи? Це питання справді важке, оскільки багато нетривіальних результатів для ізоморфізму графа, ймовірно, перейдуть і до ізоморфізму групи перестановки. Але тут вважається більш розумним розглядати теорію обчислювальної перестановки як суб'єкт самостійно, навіть якщо вона справді тісно пов'язана з проблемою графомічного ізоморфізму.

— Томас Клімпель
джерело

$S_n$

@JoshuaGrochow Для кольорових ізо кольори - це лише довільні числа (wlog обмежено до [n]). Для ізотопних рядків рядки задаються за фіксованим кінцевим алфавітом. Я думав, що це двійковий алфавіт, але я це неправильно запам'ятав. Я просто згадав, що мене спочатку бентежив, чи колір iso - це просто інша назва для рядка iso. Тож коли я вирішив прочитати цей документ після того, як Ласло відкликав свою претензію, мені здалося, що це різниця. Можливо, це справді є різницею, оскільки "над обмеженим алфавітом" спілкується "виправити улюблений кінцевий алфавіт, це не матиме ніякої різниці". Що правда.

— Томас Клімпель

\log n

$\log n$

[n]

$[n]$

@JoshuaGrochow Це саме те, що я мав на увазі під цим, це не має ніякого значення ". Що правда. Зараз я намагався вирішити ваш коментар" Строковий ізоморфізм / кольоровий ізоморфізм не потрапляє до цього класу ". Мені подобалося вивчати деякі уроки з Андреас Бласс та Юрій Гуревич, які також намагаються зосередити свою увагу на концептуальних точках. Я щасливий, що Бабай виправив свій алгоритм зараз, так що я не відчуваю жодних обов'язків (чи тиску) досліджувати, чи ізоморфізм графіка та ізоморфізм струн є еквівалентом поліноміального часу . (Який був контекст, чому я написав цю відповідь.)

— Томас Клімпель

Мене бентежить, чому ви порівнюєте прогрес на GI з результатами дерандомізації.

— Сашо Ніколов