Що можна вирішити за допомогою напіввизначеного програмування, яке неможливо вирішити за допомогою лінійного програмування?

9

Мені знайомі лінійні програми, оскільки вони можуть вирішувати задачі з лінійними цільовими функціями та лінійними обмеженнями. Але що може напіввизначене програмування вирішити, що лінійне програмування не може? Я вже знаю, що напіввизначені програми - це узагальнення лінійних програм.

Крім того, як розпізнати проблему, яку можна вирішити за допомогою напіввизначеного програмування? Яка типова проблема, що для напіввизначеного програмування використовується така проблема, яку неможливо вирішити за допомогою лінійного програмування?

Дуже дякую за будь-яку відповідь.

linear-programming convex-optimization semidefinite-programming

— user11094
джерело

2

Можливо, ви можете зробити своє питання більш точним? Адже лінійне програмування є

P

$\mathsf{P}$ -комплект.

— Крістофер Арнсфельт Хансен

5

@ KristofferArnsfeltHansen Я ніколи не перестаю цікавитись, чому люди продовжують доводити цей факт у подібних дискусіях. Повнота P не має значення, якщо ми не говоримо про відокремлення P від L або NC - якщо ми говоримо про polytime, все в P є "P-завершеним". Щоб запропонувати відповідь на ОП: після того, як ви виправите лінійне кодування проблеми (тобто запишіть як оптимізацію лінійного функціоналу над політопом), має сенс запитати, чи зможе вирішити проблему полімізний LP / SDP.

— Сашо Ніколов

18

Типовою проблемою є MaxCut: вивести зріз у графіку, який (приблизно) максимізує кількість обрізаних ребер. Goemans і Williamson показали, що показник SDP відповідає значенню MaxCut до коефіцієнта не менше 0,878. Нещодавно Чан, Лі, Рагхавендра та Стіурер показали, що для природного лінійного кодування проблеми MaxCut всі LP поліноміального розміру досягають наближення не краще 0,5.

Важко сказати коротко, які проблеми зазвичай отримують від СДП. Систематичний підхід до побудови релаксацій СДП здійснюється через ієрархії, найпотужнішою з яких є ієрархія Лассера : див . Опитування Ротвосса для приємного вступу. На сьогоднішній день є занадто багато прикладів успішності СДП в оптимізації, щоб їх перелічити. Крім того, Рагхавендра показав, що один конкретний SDP дає найкраще наближення до всіх проблем MaxCSP, якщо думка про унікальні ігри відповідає дійсності.

Перегляньте книги Гартнера та Матусека , глави 6 та 13 книги Віллімсона та Шмойса , опитування Ловаша .

— Сашо Ніколов
джерело

12

Для багатьох проблем комбінаторної оптимізації (наприклад, Max-Cut) напівфінітне програмування дає набагато сильніші розслаблення, ніж розслаблення LP формули IP. Це дозволяє створити алгоритми наближення та точні алгоритми, які ефективніші за їх лінійні аналоги завдяки кращій якості меж. Приклади можна знайти в Крістоф Helmberg в Habilitation тезі , дане дослідження , і цей курс сторінці .

Ще одна нещодавня послідовність вражаючих результатів використання напіввизначеного програмування - це застосування прапорних алгебр Разборова для доведення результатів проблем типу Туран (див. Це опитування та флагматичний проект ).

— Томас Каліновський
джерело