Підрахунок кількості простих шляхів у непрямому графіку

18

Як я можу визначитися з кількістю унікальних простих контурів у непрямому графіку? Або для певної довжини, або для діапазону прийнятних довжин.

Нагадаємо, що простий шлях - це шлях без циклів, тому я говорю про підрахунок кількості шляхів без циклу.

graph-theory co.combinatorics counting-complexity

— Райан
джерело

2

Це запитували вже в mathoverflow: mathoverflow.net/questions/18603/…

— Перелік

5

Власне, питання в mathoverflow полягало в тому, щоб знайти всі шляхи, а не рахувати їх. Знайти їх може бути набагато складніше.

— DCTLib

1

Крім посилань, які наведені у відповідях, одне тривіальне спостереження полягає в тому, що якщо можна порахувати кількість шляхів довжиною

то можна відповісти на питання про існування гамільтонівського шляху. Тож, швидше за все, це не П.

n - 1

$n-1$

— Саїд

20

Існує декілька алгоритмів, які підраховують прості шляхи довжиною за час, що набагато краще, ніж груба сила ( час). Див., Наприклад, Василевська та Вільямс, 2009 . $k$ $f(k)n^{k/2+O(1)}$ $O(n^k)$

— Андреас Бьорклунд
джерело

18

Це # P-завершений (Valiant, 1979), тому ви навряд чи зможете зробити набагато краще, ніж груба сила, якщо хочете точної відповіді. Про наближення обговорюються Робертс та Крус (2007).

Б. Робертс та Д. П. Крус, " Оцінка кількості - шляхів у графі $s$ $t$ ". Журнал алгоритмів та застосувань графіків , 11 (1): 195-214, 2007.

LG Valiant, " Складність проблем перерахування та надійності ". Журнал обчислювальної техніки SIAM 8 (3): 410-421, 1979.

— Девід Річербі
джерело

4

Здається, папір Робертса та Кройса не дає гарантій наближення. Чи відомий ПТАС для цієї проблеми?

— Сашо Ніколов

3

@SashoNikolov, мабуть, мало розумного алгоритму наближення. Дано

отримуємо

від

, замінюючи кожен вузол клікою розміром

де

і

. Для кожного простого шляху довжиною

в

є приблизно

шляхи в

. Отже, якщо

має

G = (V, E)

$G=(V,E)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

N = n^{c}

$N=n^c$

n = | V |

$n=|V|$

c ≫ 1

$c\gg 1$

ℓ

$\ell$

G

$G$

(N!)^{ℓ}

$(N!)^\ell$

G^{'}

$G'$

G

$G$

s - t

$s-t$ гамільтонів шлях, у

буде принаймні

або так прості

шляхи , інакше максимум щось подібне

простий

шлях. Тож, важко наблизитись до коефіцієнта приблизно

(N!)^{n}

$(N!)^{n}$

s - t

$s-t$

G^{'}

$G'$

(n - 1)! (N!)^{n - 1}

$(n-1)!(N!)^{n-1}$

s - t

$s-t$

.

N! / (n - 1)! ≫ n^{c - 1}!

$N!/(n-1)! \gg n^{c-1}!$

— Ніл Янг

6

$\delta>0$ $\delta =\Omega(\frac{1}{poly(k)})$ $(1+\delta)$ $k$ $O^*(2^{O(k)})$

— РБ
джерело