Цікаві функції на графіках, які можна ефективно збільшити.

10

Скажіть, що у мене зважений графік такий, що - це функція зважування - зауважте, що дозволені негативні ваги. $G = (V,E,w)$ $w:E\rightarrow [-1,1]$

Скажімо , що визначає властивість будь-якої підмножини вершин . $f:2^V\rightarrow \mathbb{R}$ $S \subset V$

Запитання: Назвіть кілька цікавих прикладів s, для яких проблема максимізації: може бути виконана в поліноміальний час? $f$ $\arg\max_{S \subseteq V}f(S)$

Наприклад, функція вирізання графіка

f (S) = \sum_{(u, v) \in E : u \in S, v \notin S} w ((u, v))

$f(S) = \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not\in S}w((u,v))$ є цікавою властивістю підмножини вершин, але не можуть бути ефективно використані. Функція щільності ребер є ще одним прикладом цікавої властивості, яка, на жаль, не може бути ефективно використана. Я шукаю функції, які однаково цікаві, але які можна ефективно використовувати.

Я дозволю дефініції визначення "цікавого" дещо розпливчастим, але хочу, щоб проблема максимізації була нетривіальною. Наприклад, не повинно бути так, що ви можете визначити відповідь, не вивчаючи ребра графіка (тому постійні функції та функція кардинальності не цікаві). Також не повинно бути випадку, коли $f$ насправді просто кодує якусь іншу функцію з поліноміально доменним розміром, додаючи її в домен $2^V$ (тобто я не хочу, щоб там був невеликий домен $X$ , а якась функція $m:2^S\rightarrow X$ відомий перед переглядом графіка, таким чином, що функція, що цікавить насправді $g:X\rightarrow \mathbb{R}$ , і $f(S) = g(m(S))$ Якщо це так, то проблема "максимізації" насправді є лише питанням оцінки функції на всіх входах.)

Редагувати: Правда, що іноді проблеми з мінімізацією є простими, якщо ви ігноруєте ваги кромки (хоча не мінімізуючи функцію зрізу, оскільки я дозволяю негативні ваги ребер). Але мене явно цікавлять проблеми максимізації. Однак це не стає проблемою природних зважених проблем.

ds.algorithms graph-theory co.combinatorics

— Аарон Рот
джерело

Чи є у вас приклад такої функції?

— Ярослав Булатов

Ні, звідси питання. :-)

— Аарон Рот

А, добре. Моє враження, що функція, яка може бути ефективно максимізована для всіх графіків, повинна бути нецікавою. Але можуть бути цікаві функції, які можна ефективно використовувати для обмежених наборів графіків. Наприклад, для плоских графіків деякі цікаві функції можуть бути ефективно максимізовані, тоді як інші цікаві функції ще не мають ефективного алгоритму

— Ярослав Булатов

Буду радий побачити відповіді про результати для обмежених класів графіків, якщо ми не можемо придумати будь-яких цікавих функцій, які можна максимально використовувати для всіх графіків.

— Аарон Рот

Чи не повинен це бути CW? Ми можемо навести довільно багато прикладів, і те, чи є вони "цікавими", є суб'єктивним.

— Jukka Suomela

5

Щоразу, коли підраховує кількість ребер задовольняють деякому булевому предикату, визначеному термінами і , то те, що ви написали, - це лише булева 2-CSP. Цільова функція просить збільшити кількість задоволених пропозицій над усіма присвоєннями змінним. Це, як відомо, є NP-твердим, а точний поріг твердості також відомий, якщо вважати UGC (див. Raghavendra'08). $f(S)$ $(u,v)$ $u\in S$ $v\in S$

Існує багато природних позитивних прикладів, коли ви хочете отримати максимізацію над підмножинами ребер, наприклад, Максимальне відповідність є одним із прикладів поліноміальної проблеми в цьому випадку.

— Моріц
джерело

Це приємне спостереження, яке виключає безліч природних проблем такого типу.

— Аарон Рот

2

Домашня перегородка / слабке двоколірне забарвлення.

(У цьому випадку якщо у кожного є сусід у і навпаки. В іншому випадку Рішення з завжди існує, якщо є немає відокремлених вузлів, і це легко знайти в поліноміальний час.) $f(S) = 1$ $v \in S$ $V \setminus S$ $f(S) = 0$ $f(S) = 1$

— Юкка Суомела
джерело

1

Мінімальний зріз (конкретно, вершинний зріз).

(У цьому випадку було б приблизно так: 0, якщо видалення вузлів у множині не розділяє щонайменше на два компоненти, а інакше. Тоді максимізація еквівалентна знаходженню мінімального розрізу , що може бути зроблено за багаточлен.) $f$ $S$ $G$ $|V| - |S|$ $f$

Ви також можете визначити аналогічну функцію, яка відповідає мінімальному обрізу ребер.

(Наприклад, дорівнює 0, якщо або ; в іншому випадку це , де - сукупність ребер, які мають одну кінцеву точку в а іншу кінцеву точку в ) $f(S)$ $S = \emptyset$ $S = V$ $|E| - |X|$ $X$ $S$ $V \setminus S$

— Юкка Суомела
джерело

Гаразд, але це проблема мінімізації в маскуванні, яка, як правило, простіше, якщо ви ігноруєте ваги краю. (Зверніть увагу, що якщо ви враховуєте ваги кромки, оскільки я зазначаю, що у нас можуть бути негативні ваги, то мінімізація також є важкою проблемою). Я спробую відредагувати питання, щоб наголосити на цьому.

— Аарон Рот

1

Максимальний незалежний набір.

(Тут = кількість вузлів у , які не примикають до жодного іншого вузла в + кількість вузлів у , які примикають до вузла в Iff - максимальний незалежний набір у нас .) $f(S)$ $S$ $S$ $V \setminus S$ $S$ $S$ $f(S) = |V|$

— Юкка Суомела
джерело

Як ви знаходите максимальний незалежний набір у многочлен?

— Ярослав Булатов

1

@Ярослав: жадібно.

— Юкка Суомела

@Yaroslav: Підказка - різниця між максимальним і максимальним є величезною. ;-)

— Росс Снайдер