Як зробити обчислення лямбда сильною нормалізацією без типової системи?

Чи є яка-небудь система, схожа на лямбда-числення, яка сильно нормалізується, без необхідності додавати систему типів поверх неї?

Я можу придумати кілька можливих відповідей, що виходять з лінійної логіки.

Найпростішим з них є афінне лямбда-числення: розгляньте лише лямбда-терміни, в яких кожна змінна з’являється не більше одного разу. Ця умова зберігається за рахунок зменшення, і відразу можна побачити, що розмір афінних членів суворо зменшується з кожним кроком зменшення. Тому нетипізований афінний лямбда-числення сильно нормалізується.

Більш цікаві приклади (з точки зору виразності) наводяться так званими "легкими" лямбда-калькуляціями, що виникають із підсистем лінійної логіки, запроваджених Гірардом у "Легкій лінійній логіці" (Інформація та обчислення 143, 1998). як "М'яка лінійна логіка" Лафона (Теоретична інформатика 318, 2004). У літературі є кілька таких обчислень, можливо, хорошим посиланням є Теруї «Легке афінне обчислення лямбда та нормалізація поліноміального часу» (Архів математичної логіки 46, 2007). У цій роботі Теру визначає лямбда-обчислення, отримане з легкої афінної логіки, і доводить сильний результат її нормалізації. Незважаючи на те, що типи згадані в роботі, вони не використовуються в доказуванні нормалізації. Вони корисні для акуратного формулювання основної властивості легкого афінного лямбда-числення, а саме в тому, що умови певного типу являють собою саме функції Полімета. Подібні результати відомі для елементарних обчислень, використовуючи інші "легкі" лямбда-калькуляції (стаття Теруя містить додаткові посилання).

Як бічне зауваження, цікаво зауважити, що в теоретико-теоретичному відношенні афінний лямбда-числення відповідає інтуїтивістській логіці без правила скорочення. Грішин зауважив (до введення лінійної логіки), що за відсутності скорочення теорія наївних множин (тобто з необмеженим розумінням) узгоджується (тобто парадокс Русселя не дає суперечності). Причина полягає в тому, що усунення наївних теорій множин без стиснення може бути доведено прямим аргументом зменшення розміру (як я подав вище), який не покладається на складність формул. Через листування Кері-Говарда це саме нормалізація нетипового афінного лямбда-числення. Це через переклад парадокса Русселя в лінійну логіку та "налаштування" експоненціальні модальності, щоб не вийшло протиріччя, що Жирар придумав легку лінійну логіку. Як я вже згадував вище, в обчислювальному відношенні легка лінійна логіка дає характеристику обчислюваних функцій полінома-часу. У теоретико-теоретичному відношенні послідовна теорія наївних множин може бути визначена у легкій лінійній логіці таким чином, що суттєво сумарні функції є точно обчислюваними функціями поліноміального часу (про це є ще одна стаття Теруя: "Теорія множин легких афін: Наївна теорія множин поліноміального часу », Studia Logica 77, 2004).

Оригінальний документ Церкви та Россера «Деякі властивості перетворення» описує щось, що може бути прикладом того, що ви шукаєте.

Якщо ви використовуєте суворий обчислення лямбда, де в кожному випадку$\lambda x.M$ у вас це є $x$ з'являється безкоштовно в $M$, то без системи типів зберігається таке властивість (це теорема 2 у статті Church і Rosser):

Якщо $B$ це нормальна форма $A$, то є число $m$ такий, що будь-яка послідовність скорочень, починаючи з $A$ призведе до $B$ [еквівалентність модуля альфа] щонайменше після $m$ скорочення.

Таким чином, незважаючи на те, що ви можете писати непереривні терміни в (нетиповому) строгому лямбдальному обчисленні, кожен термін із нормальною формою сильно нормалізується; тобто кожна послідовність скорочень досягне тієї унікальної нормальної форми.

Ось веселий, Ніл Джонс та Ніна Бор:

Припинення дзвінка за вартістю у типі $\lambda$-розрахунок

Він показує, як застосувати аналіз зміни розміру (тип аналізу потоку управління, який виявляє нескінченні петлі) на нетипізовані$\lambda$-умови. Це досить приємно на практиці, але, звичайно, обмежується$\lambda$-терміни без визначених констант (хоча метод може бути поширений на більш загальне використання).

Перевага введення тексту, звичайно, є як низькою вартістю складності, так і модульністю підходу: в цілому аналізи припинення дуже немодульні, але введення тексту може бути зроблено "по частинах".