Як зробити обчислення лямбда сильною нормалізацією без типової системи?


9

Чи є яка-небудь система, схожа на лямбда-числення, яка сильно нормалізується, без необхідності додавати систему типів поверх неї?


5
Питання трохи не зосереджене: що ви маєте на увазі під "схожим на"? Чи подібні автомати кінцевого стану? Theλ-kalculus є універсальною моделлю обчислень, тому все, що є «подібним» до нього, ймовірно, матиме форми, що не припиняються.
Мартін Бергер

Відповіді:


22

Я можу придумати кілька можливих відповідей, що виходять з лінійної логіки.

Найпростішим з них є афінне лямбда-числення: розгляньте лише лямбда-терміни, в яких кожна змінна з’являється не більше одного разу. Ця умова зберігається за рахунок зменшення, і відразу можна побачити, що розмір афінних членів суворо зменшується з кожним кроком зменшення. Тому нетипізований афінний лямбда-числення сильно нормалізується.

Більш цікаві приклади (з точки зору виразності) наводяться так званими "легкими" лямбда-калькуляціями, що виникають із підсистем лінійної логіки, запроваджених Гірардом у "Легкій лінійній логіці" (Інформація та обчислення 143, 1998). як "М'яка лінійна логіка" Лафона (Теоретична інформатика 318, 2004). У літературі є кілька таких обчислень, можливо, хорошим посиланням є Теруї «Легке афінне обчислення лямбда та нормалізація поліноміального часу» (Архів математичної логіки 46, 2007). У цій роботі Теру визначає лямбда-обчислення, отримане з легкої афінної логіки, і доводить сильний результат її нормалізації. Незважаючи на те, що типи згадані в роботі, вони не використовуються в доказуванні нормалізації. Вони корисні для акуратного формулювання основної властивості легкого афінного лямбда-числення, а саме в тому, що умови певного типу являють собою саме функції Полімета. Подібні результати відомі для елементарних обчислень, використовуючи інші "легкі" лямбда-калькуляції (стаття Теруя містить додаткові посилання).

Як бічне зауваження, цікаво зауважити, що в теоретико-теоретичному відношенні афінний лямбда-числення відповідає інтуїтивістській логіці без правила скорочення. Грішин зауважив (до введення лінійної логіки), що за відсутності скорочення теорія наївних множин (тобто з необмеженим розумінням) узгоджується (тобто парадокс Русселя не дає суперечності). Причина полягає в тому, що усунення наївних теорій множин без стиснення може бути доведено прямим аргументом зменшення розміру (як я подав вище), який не покладається на складність формул. Через листування Кері-Говарда це саме нормалізація нетипового афінного лямбда-числення. Це через переклад парадокса Русселя в лінійну логіку та "налаштування" експоненціальні модальності, щоб не вийшло протиріччя, що Жирар придумав легку лінійну логіку. Як я вже згадував вище, в обчислювальному відношенні легка лінійна логіка дає характеристику обчислюваних функцій полінома-часу. У теоретико-теоретичному відношенні послідовна теорія наївних множин може бути визначена у легкій лінійній логіці таким чином, що суттєво сумарні функції є точно обчислюваними функціями поліноміального часу (про це є ще одна стаття Теруя: "Теорія множин легких афін: Наївна теорія множин поліноміального часу », Studia Logica 77, 2004).


Я б сказав, що обчислювальний лямбда-обчислювач Теруя вводиться з урахуванням обмежень щодо використання афінної змінної, нехай стратифіковані оператори і моноїдність оператора!! Просто ці обмеження вводяться неофіційно. Також вводиться LLL Жирара.
Мартін Бергер

@Martin: Я не згоден. Структурні обмеження, накладені на легкі афінні терміни, мають інший характер, ніж ті, що стосуються системи набору тексту. Найбільша відмінність полягає в тому, що введення тексту обов'язково є індуктивним, тоді як добре утворення (тобто стратифікація, споріднене використання тощо) може бути визначене як комбінаторне властивість терміна. Так, наприклад, коли ви вводите термін, вам зазвичай доводиться вводити його підтерміни, тоді як підтерміну стратифікованого терміна не потрібно стратифікувати.
Даміано Мацца

Вибачте, ще одна річ про LLL Жирара: система, очевидно, набрана, оскільки вона включає формули. Однак, як я вже згадував у своїй відповіді, формули взагалі не грають ніякої ролі в усуненні скорочення ЛЖ. Насправді можуть бути додані довільні точкові формули (включаючи парадоксальну формулу Русселя, яка еквівалентна її власній запереченню!), Без того, щоб LLL ставав непослідовним. Це пояснюється тим, що усунення різання виконується з "суто структурних" причин, незалежно від того, що ви можете приєднувати типи до своїх доказів (технічно теорема відсікання зрізів для LLL може бути доведена в нетипізованих захищених мережах).
Даміано Мацца

Гаразд, якщо ви зробите індуктивність умовою того, що щось є системою друку. Це цікава точка зору, на яку я раніше не стикався.
Мартін Бергер

... і це, з точки зору, я б сказала, помилково. Наприклад, у системах, що включають підтипи (в більш загальному випадку, коли розглядається зовнішня інтерпретація типів у розумінні Рейнольдса), цілком природно сприймати коіндуктивний погляд на введення тексту. У літературі є досить багато прикладів (хоча, я думаю, це недооцінено).
Ноам Зейльбергер

12

Оригінальний документ Церкви та Россера «Деякі властивості перетворення» описує щось, що може бути прикладом того, що ви шукаєте.

Якщо ви використовуєте суворий обчислення лямбда, де в кожному випадкуλx.M у вас це є x з'являється безкоштовно в M, то без системи типів зберігається таке властивість (це теорема 2 у статті Church і Rosser):

Якщо B це нормальна форма A, то є число m такий, що будь-яка послідовність скорочень, починаючи з A призведе до B [еквівалентність модуля альфа] щонайменше після m скорочення.

Таким чином, незважаючи на те, що ви можете писати непереривні терміни в (нетиповому) строгому лямбдальному обчисленні, кожен термін із нормальною формою сильно нормалізується; тобто кожна послідовність скорочень досягне тієї унікальної нормальної форми.


1
Щось розбігається, як mу висновку не фігурує.
Андрій Бауер

На завершення твердження теореми цього разу, спасибі. Частина, яку я написав як [еквівалент модуля альфа], спочатку була "(у межах додатків Правила I)", що означає те саме, якщо я не згадую Правило I правильно.
Роб Сіммонс

10

Ось веселий, Ніл Джонс та Ніна Бор:

Припинення дзвінка за вартістю у типі λ-розрахунок

Він показує, як застосувати аналіз зміни розміру (тип аналізу потоку управління, який виявляє нескінченні петлі) на нетипізованіλ-умови. Це досить приємно на практиці, але, звичайно, обмежуєтьсяλ-терміни без визначених констант (хоча метод може бути поширений на більш загальне використання).

Перевага введення тексту, звичайно, є як низькою вартістю складності, так і модульністю підходу: в цілому аналізи припинення дуже немодульні, але введення тексту може бути зроблено "по частинах".


Це справді цікаво!
MaiaVictor
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.