Математичні наслідки гіпотез теорії складності поза ТКС

Чи знаєте ви цікаві наслідки (стандартних) гіпотез теорії складності в інших галузях математики (тобто поза теоретичною інформатикою)?

Я вважаю за краще відповіді, де:

• гіпотеза теорії складності є максимально загальною та стандартною; Я все в порядку з наслідками твердості конкретних проблем, але було б добре, якби, як вважають, проблеми важкі (або, принаймні, вивчалися більше ніж в парі робіт)

• наслідок - це твердження, яке, як відомо, є безумовним істинним, або інші відомі докази значно складніші

• чим дивніше з'єднання, тим краще; зокрема, наслідком не повинно бути твердження, явно про алгоритми

"Якби свині могли літати, коні співали", тип зв’язків теж нормальний, доки літаючі свині виходять із теорії складності, а співочі коні з якоїсь галузі математики поза інформатикою.

Це питання є певним чином "зворотним" питанням, яке ми мали про дивовижне використання математики в інформатиці. Дік Ліптон мав публікацію в блозі саме за цими напрямками: він пише про наслідки гіпотези, що факторинг має складну схему. Наслідки полягають у тому, що певні діофантинові рівняння не мають рішення, такого роду твердження, яке може дуже важко довести безумовно. Повідомлення засноване на роботі з Деном Боне, але я не можу знайти папір.

EDIT: Як зазначає Джош Грохов у коментарях, його питання щодо застосування ТКС у класичній математиці тісно пов'язане. Моє запитання, з одного боку, більш дозвільне, тому що я не наполягаю на обмеженні "класичної математики". Я думаю, що більш важлива відмінність полягає в тому, що я наполягаю на доведеному наслідку від гіпотези складності до висловлювання в галузі математики поза ТКС. Більшість відповідей на питання Джоша не такого типу, а натомість дають прийоми та концепції, корисні в класичній математиці, які були розроблені або натхнені TCS. Тим не менше, принаймні одна відповідь на питання Джоша - це ідеальна відповідь на моє запитання: папір Майкла Фрідманаяке мотивоване питанням, ідентичним моєму, і доводить теорему в теорії вузлів, що обумовлена . Він стверджує, що теорема видається недосяжною діючими методами в теорії вузлів. За теоремою Тоди, якщо тоді ієрархія поліномів руйнується, тому припущення є цілком правдоподібним. Мене цікавлять інші подібні результати.P # P = N $\mathsf{P}^{\#P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\#P} = \mathsf{NP}$

Ось ще один приклад з теорії графів. Теорема другорядних графіків говорить нам про те, що для кожного класу непрямої графіки, який закритий під неповнолітніми, існує кінцева множина перешкод O b s ( G ) така, що графік є в G тоді і лише тоді, коли він не містить графа в O b s ( G ) як неповнолітній. Однак теорема графа мінор невід'ємно неконструктивно і не говорить нам нічого про те , як великий ці набори непрохідності, тобто, скільки графів містить для конкретного вибору G .$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$

У « Занадто багато перешкод для мінорних порядків» Майкл Дж. Діннен показав, що за теоретично-теоретичної гіпотези правдоподібної складності розміри декількох таких наборів перешкод можуть бути великими. Наприклад, розглянемо параметризований клас графіків роду не більше k . Зі збільшенням k ми можемо очікувати, що набори перешкод O b s ( G k ) ускладнюватимуться, але наскільки це так? Діннен показав, що якщо поліноміальна ієрархія не зруйнується до свого третього рівня, то не буде полінома p такою, що кількість перешкод в O b s$\mathcal{G}_k$$k$$k$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p$обмеженаp(k). Оскільки кількість незначних перешкод для того, щоб мати нульовий рід (тобто планарний), становить всього дві ( O b s ( G 0 )={ K 5 , K 3 , 3 }), цей надполіномічний ріст не відразу очевидний (хоча я вважаю, що це можна довести безумовно). Приємне в результаті Діннена полягає в тому, що він застосовується до розмірів наборів перешкод, що відповідаютьбудь-якомупараметризованому набору другорядних ідеалів G k, для якого визначається найменший$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p(k)$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_0) = \{K_5, K_{3,3}\}$$\mathcal{G}_k$$k$для яких NP-жорсткий; у всіх таких параметризованих другорядних ідеалах розміри наборів перешкод повинні зростати суперполіномічно. $G \in \mathcal{G}_k$

Ось приклад: обчислювальна складність та інформаційна асиметрія у фінансових продуктах Arora, Barak та Ge показує, що обчислювально похідні ціни можуть бути обчислювані (тобто NP-hard) - вони використовують найгустіший підграф як вбудовану важку проблему.

В той же самий спосіб і набагато раніше викладено відомий документ Бартольді, Тові та Трюка про твердість маніпулювання виборами.

Як запропонував Сашо, моя відповідь на запитання " Застосування ТКС до класичної математики? " Наступним чином:

У своїй роботі Програми прямих ліній і точок кручення на еліптичних кривих Ци Чен пов'язує конструкцію Бюргіссера (варіант τ -конструкції Шуба і Смала) з теоремою Торсія та теоремою Массера в області еліптичних кривих.$L$$\tau$

Дуже приблизно, якщо -конструкція є істинною (або слабшою її версією), то можна легко "вивести" ці обидві теореми. Їх оригінальні докази набагато складніше.$L$

Je Конструкція стверджує, що якщо поліном p має програму прямої прямої (або арифметичну схему) розміром τ , кількість цілих коренів становить не більше ( 1 + τ ) c для деякої абсолютної постійної c .$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

$S_{2^k}$$S_{2^k}$$2^{\delta k}$

Це дуже в дусі згаданої раніше статті Майка Фрідмана.

виявляється, що багато питань розділення класів складності TCS мають велике значення в математиці. Зокрема, питання P =? NP має дуже глибокі зв’язки в багатьох галузях, і це включає математику. деякі помітні випадки в цій галузі:

• Було показано, що проблема Hilberts Nullstellensatz, сформульована на початку 20 століття, має простежуваність, тісно пов’язану зі складністю P vs NP, наприклад, щодо НЕРАКТИВНОСТІ NULLSTELLENSATZ Гілберта та алгебраїчної версії “NP ̸ = P?” Від Shub / Smale. це продовження вивчення, наприклад, Комп'ютерна алгебра, комбінаторика та складність: Нульстеленсатц Гільберта та Проблеми Маргуліа, що завершують НП .

• Теорема Фаґінса (вікіпедія):

  Теорема Фагіна є результатом описової теорії складності, яка стверджує, що сукупність усіх властивостей, виражених в екзистенціальній логіці другого порядку, є саме класом складності NP. Це чудово, оскільки саме характеристика класу NP не посилається на таку модель обчислень, як машина Тьюрінга.

  головне / дивне значення P = NP тут означатиме, що всі логічні твердження другого порядку можуть бути ефективно обчислені.

• Інший випадок полягає в тому, що існують різні повні проблеми НП, заявлені здебільшого лише з математичної точки зору (наприклад, немає посилань на такі поняття TCS, як TM, недетермінізм тощо). цей перелік може бути дуже великим, якщо теорія графів (цілком розумно) розглядається як математична. однак навіть вузькі тлумачення "математичного" призводять до випадків, наприклад, в теорії чисел.

  $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

  • Чи існує природна проблема у природних, яка не є повною NP? tcs.se
  • теорія чисел і NP повний математичний потік