Мінімальна кількість кольорів, що перешкоджають рівносторонній рівномірному кольоровому підкресле

У програмі Bundeswettberweb Infomatik 2010/2011 виникла цікава проблема:

Для фіксованого знайдіть мінімальний та карту , щоб не було потрійної з .k φ : { ( i , j ) | i ≤ j ≤ n } → { 1 , … , k } ( i , j ) , ( i + l , j ) , ( i + l , j + l ) φ ( i , j ) = φ ( i + l $n$$k$$\varphi: \{(i,j)|i\leq j \leq n\}\rightarrow \{1,\ldots,k\}$$(i,j),(i+l,j),(i+l,j+l)$$\varphi(i,j)=\varphi(i+l,j)=\varphi(i+l,j+l)$

А саме ми шукаємо мінімальну кількість кольорів для трикутника, щоб не було рівномірного кольорового рівностороннього підрязка (на наступному малюнку показано невірне забарвлення, оскільки виділені вершини утворюють такий рівнобічний рівносторонній підрядок):

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

Насправді вони попросили досить малу для і у рішенні (написаному німецькою мовою) вони відзначили, що жадібний підхід дає забарвлення з кольорів для , яку можна зменшити до шляхом рандомізації кольорів до а знайдено дійсне рішення.n = 1000 27 n = 1000 $k$$n=1000$$27$$n=1000$$15$

Мене цікавлять точні рішення (для менших ). У рішенні йдеться про те, що для зворотного відстеження виходить, що кольорів достатньо для а достатньо для , де зворотне відстеження вже насправді повільне для .2 n ∈ { 2 , 3 , 4 } 3 5 ≤ n ≤ 17 n = $n$$2$$n\in\{2,3,4\}$$3$$5\leq n \leq 17$$n=17$

Спочатку я спробував використати рецептуру ILP та Gurobi, щоб отримати певні результати для , але це було занадто повільно (вже для ). Тоді я використовував розв'язувач SAT , тому що я помітив, що існує прямого формулювання в якості екземпляра SAT.n = $n>17$$n=17$

З таким підходом я зміг створити рішення з кольорами для протягом хвилин:n = 18 $3$$n=18$$10$

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

Але вирішити, чи вистачить кольорів для це вже занадто повільно. Чи існує якийсь інший підхід, який дає точні рішення для ? Звичайно, не можна очікувати поліноміального алгоритму.n = 19 n ≥ $3$$n=19$$n \geq 19$

Просто розширений коментар:

Ви можете поглянути на підхід, використовуваний Steinbach та Posthoff, щоб знайти 4 кольорові сітки розміром 18x18 (і 12x21) без однотонних прямокутників :

Бернд Штейнбах та Крістіан Постхофф, вирішення останньої відкритої чотириколірної прямокутної сітки надзвичайно складною багатозначною проблемою . У матеріалах 43-го Міжнародного симпозіуму IEEE з багатозначної логіки (ISMVL '13)

Як довели Gasarch et al. з огляду на часткове забарвлення довільного прямокутника , вирішити, чи можна забарвлення поширити на весь прямокутник без монохроматичних прямокутників: Даніель Апон, Вільям Гасарх, Кевін Лоулер, Повна проблема NP в Сітка розмальовки . Тож є великі шанси, що ця проблема є NP-повною навіть для рівносторонніх трикутників .... Я думаю, що це було б приємним результатом.n × $c$$n \times m$

Лише бічна зауваження: я витратив тижні циклів процесора на монохроматичну 4-кольорову проблему без прямокутника, але я почав із неправильного часткового результату (неправильний попередній аналіз, який обмежував кількість можливих одноколірних підконфігурацій), і я використовував STP вирішувач ; ви можете домогтися великих вдосконалень, якщо додати обмеження, які порушують симетрію (наприклад, замовлення на забарвлення сторони трикутника) і спробуйте зробити аналіз можливих конфігурацій, використовуючи лише 1-кольоровий колір.

EDIT: це результат програми STP за n = 19 (~ 1 хв.)

Використовуючи підхід на основі SAT, я можу підтвердити, що кожен екземпляр є триколірним до . Локальний пошук пошуку вирішує проблему досить швидко на сучасному робочому столі. Я спробував той самий підхід для , але не отримав рішення приблизно за 96 годин. Таким чином, припускати, що вже не є 3 кольоровим. (Дозвольте також зауважити, що 4-х забарвлення миттєво знаходимо при ).n = 22 n = 23 n = 23 n = $n \leq 22$$n=22$$n=23$$n=23$$n=23$

Моє спостереження для було схожим на ваше, тобто воно, здається, зовсім недосяжне для повного вирішення, якщо використовується пряме кодування. З іншого боку, я би не здивувався, якби розумніше кодування могло вирішити випадок (і далі?).n = $n=19$$n=23$

Нижче рішення для .$n=22$

Велика подяка Марціо за те, що він створив образ, і за те, що він повідомив про проблему! :-)