Вирішальна теорія асимптотичного зростання

Які відомі межі вирішуваності порівняння швидкості зростання функцій від ? Я тут думаю про вирішуваність питань на кшталт "Чи ?" або "Чи ?". $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $x^x \sim 2^{\lfloor x \lg (x+2) \rfloor}$ $2^{\lg^* x} \in O(\lg \lg x)$

Якщо обмежити функції поліномів (виражені звичайним чином), то це не важко. Дивіться також Кантора нормальної форми .

Наскільки великим ми можемо зробити клас функцій, перш ніж порівняння стане нерозбірливим? Чи можемо ми поширити його на функції, що використовуються у типовому класі алгоритмів для студентів?

Як пояснює Джошуа Грохов у коментарях, мене справді цікавить набір виразів, а не самі функції. Так, наприклад, мені були б цікаві процедури прийняття рішень, які могли б порівняти " " і " ", навіть якщо вони не можуть порівняти " " і " ". $1$ $2$ $\ln e$ $n^{(\ln n)^{-1}}$

Можливо пов'язане питання: "Чи теорія асимптотичних меж остаточно аксіоматизована?"

decidability asymptotics

— jbapple
джерело

Цікаве запитання! Я думаю, що одну частину слід трохи змінити. Я не думаю, що питання має бути не в тому, наскільки великий клас функцій, а в тому, як виражаються функції . Тобто, якщо вам вводять два апарати Тюрінга полінома-часу, вказуючи, який з них має більший час роботи, не можна визначити (незважаючи на те, що в обох є тривалість виконання поліномів) ... Якщо ці функції замість цього були виражені як, скажімо явні многочлени (випишіть цілі полі w / коефіцієнти), то їх легко порівняти.

— Джошуа Грохов

Гарна думка. Чи є у вас якісь пропозиції щодо того, як сказати це?

— jbapple

Я думаю, це залежить від того, що вас цікавить. Можливо, природно запитати функції, виражені у формулі, що включають різні операції, і тоді питання полягає в тому, які набори операцій роблять її прийнятною / нерозбірливою. наприклад, опції включатимуть +, раз, розділити, -, n-й корені, exp, log, склад, log ^ * і т. д. (Якщо ви не залишите журнал ^ *, попередній список надає всі елементарні функції.)

— Джошуа Грохов

$\mathbb{R}$ $x$ $\exp$ $\log|\cdot|$ $f(x)^5 + f(x) = x$ є в сім’ї). Харді показав, що будь-які дві такі функції можна порівняти асимптотично. Я не впевнений, чи доказ алгоритмічний, але це варто перевірити.

Бошерніцзан ще більше розширив цей клас, і, безсумнівно, є інші роботи з цього питання.

— Юваль Фільм
джерело

У книзі Джона Р. Шеклла "Символічна асимптотика" (розділ 5.1, стор. 91), що перший алгоритм цієї проблеми був із статті Дана і Горінга 1986 року "Примітки до експоненціально-логарифмічних термінів" . Дисертація Домініка Гранца 1996 р. "Про обчислювальні межі в системі символьної маніпуляції" також містить алгоритм цієї проблеми і порівнює різні методи.

— jbapple

Однак усі вони покладаються на оракул для вирішення проблеми нульової еквівалентності, що не можна визначити загалом.

— jbapple