Складність пошуку максимальної кількості парних розрізнених множин

Припустимо, що у мене є набори з елементами, взятіми з можливих . Кожен набір має розмір ( ), де множини можуть перетинатися. Я хочу визначити, чи є наступні дві проблеми NP-повною чи ні: $P$ $r$ $n$ $n<r$

Завдання А. Чи є ( ) різні набори в межах множин (тобто їх парне перетин порожньо)? $M$ $1 \le M \le P$ $P$

Задача B. Тепер ( ) елементи можна вибрати з кожного набору. Чи є ( ) різні набори розміром кожен у межах наборів ? Зауважте, що з кожного набору елементів може бути взято лише один набір елементів. $k$ $k<n$ $L$ $1 \le L \le P$ $k$ $P$ $k$ $n$

Зауваження : В основному мене цікавить випадок, коли є фіксованими ( ). $k,n$ $n \ge 2, k \ge 2$

Я вважаю , що завдання А можна розглядати як рівномірне паросочетание -дольних гіпер-графа. Тобто, у нас елементи є вершинами, і кожна гіпер-грань містить підмножину вершин графа. $n$ $r$ $r$ $n$

У рівномірне -дольних гіпер-графа узгодження завдання NP-повної? $n$ $r$
Я думаю, що задача B еквівалентна знаходженню кількості чітких гіпер-ребер кардинальності взятих з гіпер-ребер кардинальності . Чи є ця обмежена версія (в тому сенсі, що кожен набір кардинальності береться з попередньо вибраного набору з елементів, а не приймається довільно з елементів) Проблеми A NP-завершеною? $k$ $n$ $k$ $n$ $r$

Приклад ( ): $n=3,r=5, P=3$

$A=\{1,2,3\}$ , , $B=\{2,3,4\}$ $C=\{3,4,5\}$

Якщо , існує лише один виразний набір, який є або або , оскільки кожна з пар , , має не- порожній перехрестя. $k=n=3$ $M=1$ $A$ $B$ $C$ $(A,B)$ $(A,C)$ $(B,C)$

Якщо , маємо різних набори: одне рішення - , (підмножини і ). $k=2$ $L=2$ $\{1,2\}$ $\{3,4\}$ $A$ $B$

graph-theory np-hardness

— MJK
джерело

Це особливий випадок проблеми з максимальним набором упаковки, і проблеми A і B є NP-завершеними . Зауважте, що проблема - це просто відповідна проблема, якщо а також проста, якщо . Тому я припускаю, що . $n=2$ $n=1$ $n \ge 3$

Замість того, щоб задавати питання,

Чи є серед безлічі набори розрізнень ? $M$ $P$

Давайте задамо наступне запитання

Яку максимальну кількість роз'єднаних множин ми можемо отримати з множин? $P$

Зрозуміло, що якщо друге питання відповідає в поліноміальний час, то це перше, оскільки все, що нам потрібно зробити, - порівняти це максимальне значення з і вивести ДА, якщо менше цього або максимуму, а інше - НІ . $M$ $M$

Крім того, якщо перше питання відповідає в поліноміальний час, то друге занадто, оскільки ми можемо використовувати двійковий пошук на і отримати відповідь на друге питання і лише додати коефіцієнт $M$ $O(\log{M})$

Тож можна зробити висновок, що обидва питання рівнозначні. тобто запитання 1 є поліоміальним часом вирішуваним тоді і лише тоді, коли питання 2 теж є.

Зрозуміло також, що проблеми є в NP, оскільки ми можемо легко переконатись, що викладені множини суперечливі. $M$

Отже, питання полягає в тому, як ми зводимо до цього відому проблему NP-Hard? Для цього ми зменшуємо максимальну задачу щодо упаковки . Я просто зосередиться на проблемі A, оскільки проблему B легко виявити важкою, встановивши $k=n-1$

Розглянемо довільний екземпляр проблеми максимального набору упаковки . Зауважте, що єдиною відмінністю між проблемою A та початковою задачею щодо максимального набору є те, що в задачі A розмір наборів повинен бути рівним. Нехай бути максимально кардинальним серед всіх множин . Якщо кожен набір у має однакову кардинальність, ми закінчили, і проблема кришки множин є точно проблемою А. Тепер припустимо, що для деякого набору ми маємо . Ми просто додати елементи , які не є елементами будь-якого безлічі в . Повторюємо цей процес, поки всі множини $T$ $t$ $T$ $T$ $S_i \in T$ $|S_i| < t$ $(t-|S_i|)$ $S_i$ $T$ $S_i \in T$ мають однаковий розмір. Зрозуміло, що додавання нових елементів таким чином не змінює розмір максимальної кількості роз'єднаних наборів.

Отже, якщо ми можемо вирішити задачу в поліномічний час, ми можемо вирішити максимальну задану упаковку за час полінома, оскільки все, що нам потрібно зробити, - це видалити додаткові елементи, які ми додали, і це не змінює розмір максимальну кількість непересічних множин в . $A$ $T$

EDIT - Деякі додаткові відомості про проблему B

Припустимо, проблема B має поліноміальне рішення часу, тепер розглянемо довільний екземпляр задачі A з елементами на множину. Тепер ми додамо фіктивний елемент до кожного набору в . Тепер ми задаємо наступне питання. $T$ $n$ $d$ $T$

Яку максимальну кількість роз'єднаних множин ми можемо отримати, взявши елементів з кожного набору? $n$

Тепер ми знаємо, що серед максимумів безліч, максимум, один з них може містити фіктивний елемент, отже, якщо відповідь, яку ми отримаємо як максимум, є , то фактична максимальна кількість множин в екземплярі (наша початкова проблема A) є або або , але це дає наближення постійного коефіцієнта для максимального набору. І таке наближення можливе лише в тому випадку, якщо . Тож проблема B також є важкою. $M$ $T$ $M$ $(M-1)$ $P=NP$

— Obinna
джерело

Щодо проблеми B: якщо ви додасте фіктивний елемент до всіх наборів задачі A, ви отримаєте набори розміром . У прикладі, який з’являється в моєму запитанні ( ), ви отримаєте, що максимальна кількість роз'єднаних наборів розміром дорівнює 3: . Однак рішення проблеми A полягає в тому, що існує лише один набір. Іншими словами, я не бачу, як рішення задачі B дає постійне наближення фактора до задачі А.

n + 1

$n+1$

n = 3, P = 3

$n=3, P=3$

n - 1 = 2

$n-1=2$

{1, d}, {2, 3}, {4, 5}

$\left\{ {1,d} \right\},\left\{ {2,3} \right\},\left\{ {4,5} \right\}$

— MJK

Якщо ви додасте елемент манекена, у вас є набори і . Цей новий екземпляр з - це екземпляр проблеми А, яка нас цікавить. Тепер запустіть передбачуваний алгоритм В на цих множинах, тобто і . Це я кажу. Зауважте, що проблема зводиться до пошуку максимальної відповідності, якщо або .

A' = {1, 2, 3, d}, B' = {2, 3, 4, d}

$A′= \left\{ {1,2,3,d} \right\}, B′= \left\{ {2,3,4,d} \right\}$

C' = {3, 4, 5, d}

$C′= \left\{ {3,4,5,d} \right\}$

n = 4

$n=4$

n = 4

$n=4$

k = 3

$k=3$

n = 2

$n=2$

k = 2

$k=2$

— Обінна Окечукву