Проблеми з оптимізацією з хорошою характеристикою, але без поліноміального часу алгоритму

Розглянемо проблеми оптимізації наступної форми. Нехай $f(x)$ - поліномальна обчислювальна функція, яка відображає рядок в раціональне число. Завдання оптимізації полягає в наступному: що максимальне значення над -бітовий рядки ?$x$$f(x)$$n$$x$

Скажемо, що така задача має характеристику мінімаксу , якщо є інша обчислювана багаточленна функція , така, що . Тут x працює над усіма n- бітовими рядками, а y працює над усіма m- бітовими рядками; n і m можуть бути різними, але вони є поліноміально спорідненими.max x f ( x ) = $g$

Численні природні та важливі проблеми оптимізації мають таку мінімальну характеристику. Кілька прикладів (теореми, на яких засновані характеристики, показані в дужках):

Лінійне програмування (LP Dual Thm), Максимальний потік (Max Flow Min Min Cut Thm), Макс біпартитового узгодження (Konig-Hall Thm), Макс небіпартітове узгодження (Tutte's Thm, формула Tutte-Berge), Max Max Disjoint Arborescences у спрямованому графіку ( Едмонд, нерозривне розгалуження Thm), Макс Spanning Дерево Упаковка в непрямому графіку (Tutte's Дерево Упаковка Thm), Min Покриття лісами (Нэш-Вільямс Thm), Макс спрямованого упаковки вирізу (Lucchesi-Younger Thm), Max 2-Матроїдний перетин (Матроїдний перетин) Thm), Макс Непересічні Шляхи (Menger's Thm), Макс Антіхайн у частково упорядкованому наборі (Dilworth Thm) та багато інших.

У всіх цих прикладах також є алгоритм поліноміального часу, щоб знайти оптимум. Моє запитання:

Чи є якась проблема оптимізації з характеристикою minimax, для якої поки що не знайдено алгоритму поліноміального часу?

Примітка: Лінійне програмування перебувало в такому статусі близько 30 років!

В якому - то технічному сенсі ви питаєте , є чи . Припустимо, що L ∈ N P ∩ c o N P , таким чином, існують багаторазові F і G, так що x ∈ L iff ∃ y : F ( x , y ) і x ∉ L iff ∃ y : G ( x , y $P = NP \cap coNP$$L \in NP \cap coNP$$F$$G$$x \in L$$\exists y: F(x,y)$$x \not\in L$$\exists y: G(x,y)$. Це може бути перероблено як характеристика minmax на якщо F ( x , y ) і f x ( y ) = 0 в іншому випадку; g x ( y ) = 0, якщо G ( x , y ) і g x ( y ) = 1 в іншому випадку. Тепер дійсно маємо m a x y f $f_x(y) = 1$$F(x,y)$$f_x(y) = 0$$g_x(y) = 0$$G(x,y)$$g_x(y) = 1$ .$max_y f_x(y) = min_y g_x(y)$

Тож у цьому сенсі будь-яка проблема, яка, як відомо, є в але невідома в P, може бути перетворена на відповідь на ваше запитання. Наприклад, факторинг (скажімо, версія рішення про те, чи i -й біт найбільшого фактора дорівнює 1).$NP \cap coNP$$P$$i$

Сеймур і Томас показали мінімальну характеристику широкої ширини. Тим не менш, ширина дерева є важкою для NP. Це, однак, не зовсім така характеристика, про яку ви просите, оскільки подвійна функція - не поліномальна обчислювана функція короткого сертифіката. Це, швидше за все, неминуче для повних проблем NP, тому що в іншому випадку ми мали б повну NP-проблему в coNP, маючи на увазі крах NP = coNP, і я вважаю це цілком шокером.$g$

Деревна ширина графа дорівнює найменшій найменшою шириною розкладання структури дерева G . Декомпозиція дерева графа G є деревом T таким, що кожна вершина x з T позначена набором S ( x ) вершин G з властивістю:$G$$G$$G$$T$$x$$T$$S(x)$$G$

1. Для всіх , | S ( x ) | ≤ k + 1 .$x \in V(T)$$|S(x)| \leq k+1$
2. Об'єднання всіх являє собою безліч вершин G .$S(x)$$G$
3. Для кожного підграф T, індукований усіма x, для яких u ∈ S ( x ) з'єднаний.$u \in V(G)$$T$$x$$u \in S(x)$
4. Кожне ребро є підмножиною деякого S ( x ) для x ∈ V ( T ) .$(u, v) \in E(G)$$S(x)$$x \in V(T)$

Seymour і Томас показали , що деревна ширина дорівнює ожина числа з : максимальні до таким чином, що існує сукупність зв'язкових подграфов G так , що:$G$$k$$G$

1. Кожен два підграфів перетинаються або з'єднуються ребром.
2. Жоден набір вершин G не вказує на всі підграграфи.$k$$G$

Таку колекцію підграфів називають джгутом порядку $k$

Зверніть увагу , як «ожина число по крайней мере , » є ∃ ∀ заяву, як з кванторами над експоненціально великих множин. Тож це не пропонує легко перевірити сертифікат (і якби такий був, це було б справді великою новиною, як я вже говорив вище). Щоб зробити речі ще гірше, Grohe і Маркс показав , що для кожного до існує графік деревна ширина до такої , що будь-який Терновник порядку щонайменше , до 1 / 2 + ε повинна складатися з експоненціально багатьох подграфов. Вони також показують , що існують ожину порядку до 1 / 2 / виводу ( увійти $k$$\exists\forall$$k$$k$$k^{1/2 + \epsilon}$ поліноміального розміру.$k^{1/2}/O(\log^2 k)$

Партії, середні виплати, ігри зі знижкою та прості стохастичні ігри підпадають під цю категорію.

Усі вони - це нескінченна гра з двома гравцями з нульовою сумою, яка грається на графіках, де гравці керують вершинами та вибирають, куди слід подати маркер. Усі мають рівновагу у безпам'ятних позиційних стратегіях, тобто кожен гравець вибирає перевагу на кожному виборі вершини детерміновано та незалежно від історії гри. Враховуючи стратегію одного гравця, найкраща відповідь іншого гравця може бути обчислена в поліноміальний час, а мінімально-макс-відносини, які вам потрібні, утримуються для "значення" гри.

Природні варіанти вирішення цих проблем полягають у NP та co-NP (справді UP та co-UP), а проблеми функціонування, щоб знайти рівновагу, лежать у PLS та PPAD.

Алгоритми, що мають найвідоміший час роботи, є суб-експоненціальними, але суперполіноміальними (наприклад, $O(n^\sqrt{n})$$n$

Дивіться, наприклад,

Девід С. Джонсон. 2007. Стовпець NP-повноти: Пошук голок у стогах сіна. ACM Trans. Алгоритми 3, 2, стаття 24 (травень 2007 р.). DOI = 10.1145 / 1240233.1240247 http://doi.acm.org/10.1145/1240233.1240247