У чому полягає складність цієї проблеми шляху?

Екземпляр: Непрямий графік з двома розрізненими вершинами s ≠ t і цілим числом k ≥ 2 .$G$$s\neq t$$k\geq 2$

Питання: Чи існує шлях у G , такий, що шлях торкається не більше k вершин? (Вершина торкається шляху, якщо вершина знаходиться або на шляху, або є сусід по шляху.)$s-t$$G$$k$

Ця проблема була вивчена в:

Ширі Чечик, Меттью П. Джонсон, Мерав Партер, Девід Пелег: проблеми у зв’язку із замкненістю. ESA 2013: 301-312.

http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf

Вони назвали це відокремленою проблемою шляху. Це справді NP-важко, і версія для оптимізації не має постійного факторного наближення.

Мотивація, яку надають автори, - це налаштування, де інформація надсилається через шлях, і бачити її можуть лише сусіди та вузли на шляху. Мета - мінімізувати експозицію.

Редагувати: Дивіться відповідь user20655 нижче для посилання на документ, який вже підтверджує твердість цієї проблеми. Я залишу своє оригінальне повідомлення у випадку, якщо хтось захоче побачити це альтернативне підтвердження.

===============

Розглянемо приклад MIN-SAT, що є важкою задачею NP , що складається із змінних і пункти C = { c 1 , c 2 , c 3 , ⋯ } . Ми зведемо це до вашої проблеми із шляху.$X = \{x_1, x_2, \cdots\, x_n\}$$C = \{c_1, c_2, c_3, \cdots\}$

У нас буде дві вершини для кожного (одна для запереченої форми і одна для відміненої) і одна вершина для кожного c i . Далі, нехай m = 2 n + | C | , матимемо m вершин p 1 , p 2 , ⋯ , p $x_i$$c_i$$m = 2n+|C|$$m$$p_1, p_2, \cdots, p_{m}$ для оббивки.

Грубо кажучи, ми побудуємо графік, де оптимальним рішенням буде побудувати шлях від до t, використовуючи x i s та ¯ x i s як проміжні вузли. Вартість цього шляху буде точно з J s , що шлях , який ми обрали задовольняв би , якщо б ми повинні були перетворити його в призначення. У р I s тільки там , щоб запобігти оптимальне рішення від того, щоб обдурити коротку різання через будь-якого з з J s.$s$$t$$x_i$$\bar{x_i}$$c_j$$p_i$$c_j$

Підключіть до будь-якого пункту c j, у якому з'являється x i , і ¯ x i до будь-якого пункту c j, у якому з'являється ¯ x i . Для примусового призначення змінних ми робимо алмазну сходову структуру, де x i та ¯ x i обидва з'єднані з кожним із x i + 1 та ¯ x i + 1 . s підключено до x 1 і $x_i$$c_j$$x_i$$\overline{x_i}$$c_j$$\overline{x_i}$$x_i$$\overline{x_i}$$x_{i+1}$$\overline{x_{i+1}}$$s$$x_1$ іtз’єднано якxn, такі ¯ x n . Нарешті, коженciз'єднаний з усіма змінними paddingpj. У мене немає зручного програмного забезпечення для малювання графіків, тому ось ця (надзвичайно) грубо накреслена схема цієї конструкції:$\overline{x_1}$$t$$x_n$$\overline{x_n}$$c_i$$p_j$

(Зауважте, що хмара - це лише великий набір вершин, і кожен товстий край від c j до цієї хмари являє собою c $\{P_i\}$$c_j$$c_j$ , з'єднаний з кожною вершиною цього набору.)

$Q + 2n + 2$$Q$

1. Шлях потрібно починати на і закінчувати на t , а найкращий спосіб зробити це без збору всіх вершин, що вкладаються, - це продовжувати рухатися від y i ∈ { x $s$$t$$y_i \in \{x_i, \overline{x_i}\}$$y_{i+1} \in \{x_{i+1}, \overline{x_{i+1}}\}$$x_i$$\overline{x_i}$$i \in 1, \cdots, n$(це інтуїтивно, оскільки видалення одного з двох варіантів із будь-якої вибраної змінної двічі дає дійсний шлях із вартістю, не більшою, ніж у нас були обидва).
2. Існує рішення вартості максимум що іде s , x 1 , $m+2$$s, x_1, x_2, \cdots, x_n, t$$s$$t$$\{x_i\}$$\{\overline{x_i}\}$$\{c_i\}$ $s-t$$s$$t$$c_i$$x_i$$x_j$$\{p\}$$\geq m+5$
3. $s$$t$$c_j$$c_j$$Q$$Q$$c_j$ їв, дивлячись на шляху , який індукує сказав призначення.
4. $x_i$$\overline{x_i}$$s$$t$$2n + 2$$c_i$$Q$

$\leq k$$\leq k + 2n + 2$