незавершеність розпізнавання різниці двох перестановок

Шор заявив, у коментарі до анонімної відповіді лося на це питання Чи можете ви визначити суму двох перестановок у поліноміальний час? , що виявити різницю двох перестановок -неповно. На жаль, я не бачу прямого скорочення від проблеми перестановки суми, і корисно мати зменшення неповноти для проблеми перестановки різниці. $NP$ $NP$

Різниця перестановки:

ІНСТАНЦІЯ: Масив натуральних чисел. $A[1...n]$

ПИТАННЯ: Чи існують дві перестановки та натуральних чисел такі, що для ? $\pi$ $\sigma$ $1,2, ... , n$ $|\pi(i) - \sigma(i)| = A[i]$ $1 \le i \le n$

Що таке зменшення для доведення неповноти розпізнавання різниці двох перестановок? $NP$

EDIT 10-9-2014 : коментар Шора дає зниження , яке доводить повнота , коли елементи послідовності будуть підписані відмінності. Однак я не бачу легкого зменшення моєї проблеми, коли всі елементи є абсолютними значеннями відмінностей. $NP$ $A$ $A$

ОНОВЛЕННЯ: Проблема відмінності перестановки здається незавершеною, навіть якщо одна з двох перестановок завжди є перестановкою ідентичності. Доказ твердості цього особливого випадку дуже вітається. Отже, мене цікавить незавершеність цієї обмеженої версії: $NP$ $NP$

Обмежена різниця перестановок: ІНСТАНЦІЯ: Масив додатних цілих чисел. $A[1...n]$

~~ПИТАННЯ: Чи існує перестановка з натуральних чисел така, що для ? $\pi$ $1,2, ... , n$ $|\pi(i) - i| = A[i]$ $1 \le i \le n$~~

Оновлення 2 : Обмежена проблема ефективно вирішується, як показано у відповіді mjqxxxx. Обчислювальна складність вихідної проблеми не доведена.

EDIT 9/6/16 : Мені цікаво визначити, чи є це спрощення різниці перестановок NP-завершеним:

Обмежена різниця перестановок:

ПОДІЇ : Мультімножество позитивних цілих чисел. $A$

ПИТАННЯ : Чи існує перестановка з натуральних чисел така, що ? $\pi$ $1,2, ... , n$ $A= \{|\pi(i) - i| :1 \le i \le n\}$

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

Чому б не запитати Петра безпосередньо? @Peter

— caozhu

Ви маєте на увазі електронною поштою? Я зроблю це.

— Мохаммед Аль-Туркстані

Можливо, мені щось не вистачає, але чи не може ця проблема бути представлена як 2-SAT і, таким чином, вирішуватися в політаймі? Ми можемо припустити WLOG, що однією з перестановок є тотожність (я припускаю, що A [i] обчислюється циклічно; чи це має значення?), І тоді ми можемо представляти другу за допомогою матриці . Бути матрицею перестановки - це сполучення пунктів двох змінних, що свідчить про те, що жодна з двох не лежить у рядку чи стовпці; а потім сказати, що різниця в розташуванні pi (i) від i є A [i] є АБО з двох можливих місць, в яких вона може знаходитися.

x [i, j]

$x[i,j]$

— Noam

@Noam Дякую за коментар Цікава ідея. Я про це не думав. Однак мені не очевидно, чи призведе це до поліноміального алгоритму часу, тим більше, що нам задають лише абсолютне значення відмінностей.

— Мохаммед Аль-Туркистан

Так, здається, що різниця між підрахунком розриву циклічно або в абсолютній величині може мати значення.

— Ноам

Відповіді:

Проблема з обмеженням, де однією з перестановок є тотожність, безумовно, в . Побудуйте двопартійний графік, де кожна вершина з'єднана з елементом ( ) таким що . Тоді потрібна перестановка існує тоді і лише тоді, коли графік має ідеальну відповідність (тобто відповідність з ребрами), яку можна визначити за полиномним часом. $\mathsf{P}$ $i \in V_1=\{1,2,\ldots,n\}$ $j \in V_2=\{1,2,\ldots,n\}$ $|i-j|=A[i]$ $\sigma$ $n$

— mjqxxxx
джерело

Я можу чогось бракувати, але будь-яке ідеальне узгодження не вийде. Ви повинні довести існування обмеженої ідеальної відповідності. Розглянемо ціле число

, яке відбувається в два рази у вхідному масиві

. Ідеальна відповідність, що відповідає перестановці, повинна мати два ребра з абсолютною різницею

. Ваш алгоритм НЕ підтверджує існування такої обмеженої відповідності. Саме це робить проблему важкою і, можливо, NP-повною.

k

$k$

A

$A$

k

$k$

— Мохаммед Аль-Туркстані

@ MohammadAl-Туркстані: Я думаю, що якщо

то

пов'язані з вузлами

A [i] = A [j] = k

$A[i] = A[j] = k$

u_{i}, u_{j} \in V_{1}

$u_i, u_j \in V_1$

v_{i + A [i]}, v_{i - A [i]}, v_{j + A [j]}, v_{j - A [j]} \in V_{2}

$v_{i+A[i]},v_{i-A[i]},v_{j+A[j]},v_{j-A[j]} \in V_2$ з абсолютними різницями

. Узгодження ідеально буде включати в себе , щонайменше одне ребро з

і одне ребро з

. Я прийшов до такого ж висновку кілька разів тому, думаючи про початкову проблему, але слідуючи іншим способом: я побачив, що легко сформулювати обмежену проблему як формулу 2-SAT (якщо ви хочете, я можу додати відповідь на неї , але ідея mjqxxxx краща).

k

$k$

u_{i}

$u_i$

u_{j}

$u_j$

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi Чому такий підхід (і ваш) не працює для оригінальної (необмеженої) проблеми?

— Мохаммед Аль-Туркстані

@mjqxxx Я бачу, що ваш підхід вирішує обмежений випадок. Чому її не можна розширити, щоб ефективно вирішити первісну проблему?

— Мохаммед Аль-Туркстані

@ MohammadAl-Turkistany: оскільки в оригінальній проблемі елементи першої перестановки (

в обмеженій версії) не виправлені, і використовуючи той самий підхід, ви закінчуєте тристоронній графік (і в моєму 2-SAT підході з a

пункт ... (це не застереження 2-CNF).

i

$i$

δ_{i} (n) \to (π_{i} (n + A [i]) \lor π_{i} (n - A [i]))

$\delta_i(n) \to (\pi_i(n+A[i]) \lor \pi_i(n-A[i]))$

— Marzio De Biasi

Ось м'яко цікавий варіант, де проблема проста: замість наземного набору , дозвольте будь-який підмножина . Мета все-таки знайти перестановку так, що де $\{1,2,3,\ldots,n\}$ $\{1,2,4,8,\ldots\}$ $\pi$ $A = \{|\pi(2^k) - 2^k| : 2^k \in \Omega\}$ $\Omega$ є наземним набором. Основна перевага тут полягає в тому, що новий наземний набір змушує кожного елемента бути для деяких , а якщо , то і визначаються цим різниця. Звідси випливає, що для кожної різниці в ми можемо зробити висновок, що $A$ $2^{k_1}-2^{k_2}$ $k_1,k_2$ $k_1\ne k_2$ $k_1$ $k_2$ $|2^{k_1} - 2^{k_2}|$ $A$ або (або обидва). $\pi(2^{k_1}) = 2^{k_2}$ $\pi(2^{k_2}) = 2^{k_1}$

Ефективне вирішення цього спрощеного варіанту є більш-менш рутинним. Почніть з побудови непрямої двопартійної мультиграфії де і є різними копіями наземного набору, і додайте ребра і щоразу з'являється в $G = (L \sqcup R, E)$ $L$ $R$ $(2^{k_1},2^{k_2})$ $(2^{k_2},2^{k_1})$ $|2^{k_1} - 2^{k_2}|$ з . Я стверджую, що таке рівнозначне: $A$ $k_1 \ne k_2$

Існує перестановка з відмінностями $\pi$ $A$
Кожна вершина в має ступінь 0 або 2 $G$

Я насправді не докажу це через час, але це не так вже й погано, щоб потренуватися самостійно. Що прямолінійний. Що $1 \implies 2$ дещо складніший, але це не так вже й погано, коли ви міркуєте з автоморфізмом який надсилає кожну вершину в для її копії в (і навпаки). Я маю на увазі, що я маю на увазі ребра в так, що всі ребра в циклі йдуть `` однаково навколо циклу '' (кожна неізольована вершина має ступінь = ступінь = 1), і так, що попередня Автоморфізм залишається автоморфізмом спрямованої версії. потім вибираєтьсявідповідності з краямиякі йдуть від до . $2 \implies 1$ $G$ $L$ $R$ $G$ $G$ $\pi$ $L$ $R$

Ви можете охарактеризувати вищезазначений алгоритм як ідеальне відповідне запитання, і я думаю, що для 2-SAT існують інші скорочення. Я не бачу, як розширити ці підходи до початкової проблеми.

— Ендрю Морган
джерело