Проблеми, які легкі для невагомих графіків, але важкі для зважених графіків

Багато задач алгоритмічного графіка можна вирішити в поліноміальний час як на невагомих, так і на зважених графіках. Деякі приклади - найкоротший шлях, міні-нахилене дерево, найдовший шлях (у спрямованих ациклічних графіках), максимальний потік, хв. Зріз, макс. Зіставлення, оптимальна дендраресценція, певні найгустіші проблеми підграфа, макс. встановити в певних класах графів, різних задач макси неперервного шляху тощо.

Однак є деякі (хоча, ймовірно, значно менші) проблеми, які вирішуються в поліноміальний час у невагомому випадку, але стають важкими (або мають відкритий статус) у зваженому випадку. Ось два приклади:

1. З огляду на -верховий повний графік і ціле число , знайдіть підрозділ пов'язаний з пов'язаний з мінімально можливою кількістю ребер. Це вирішується в поліноміальний час, використовуючи теорему Ф. Харарі, яка розповідає про структуру оптимальних графіків. З іншого боку, якщо краї зважені, то знаходження мінімальної ваги -з'єднаного підпрограму підпрограми є твердим.$n$$k\geq 1$$k$$k$$NP$

2. Нещодавній (грудень 2012) документ С. Чечіка, М. П. Джонсона, М. Партера та Д. Пелега (див. Http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf ) розглядає, серед іншого, проблему шляху виклик Шлях мінімальної експозиції Тут шукається шлях між двома вказаними вузлами, таким, що кількість вузлів на шляху плюс кількість вузлів, які мають сусіда по шляху, є мінімальним. Вони доводять, що в обмежених графах градусів це може бути вирішено в поліноміальний час для невагомого випадку, але стає твердим у зваженому випадку, навіть із ступенем, пов’язаним із ступенем 4. (Примітка: Посилання було знайдено як відповідь на питання Що таке складність цієї проблеми шляху? )$NP$

Які ще цікаві проблеми такого характеру, тобто перехід на зважений варіант викликає "стрибок складності"?

У світі алгоритмів наближення існує проблема ємнісного покриття вершин. Враховуючи і цілі ємності для кожного метою є знайти кришку мінімального розміру для вершини де кількість ребер, охоплених становить не більше . Ця проблема має постійне наближення коефіцієнта в невагомому випадку (тобто ми хочемо мінімізувати розмір кришки вершини), тоді як у зваженому випадку воно -тверде (якщо ) (кожен вершина має вагу і ми хочемо мінімізувати вагу кришки).$G=(V,E)$$c(v)$$v \in V$$G$$v$$c(v)$$\Omega(\log n)$$P = NP$$w(v)$

Мій улюблений приклад - незалежна проблема домінування (з урахуванням графіка та цілого , чи має максимально незалежну множину включення з максимум вершин?). За гарним результатом завдяки Мартіну Фарберу ( див. Тут ), невагомий варіант поліноміально розв’язується в хордальних графах. Джерард Чанг доводить, що зважена версія є NP-повною для хордальних графіків ( див. Тут ).$G$$k$$G$$k$

Ідеальна відповідність задач у двосторонніх графах знаходиться в тоді як точне вагове відповідність біпартитового графіка незавершене .$P$$NP$

Слідом за відповіддю Мохаммада Аль-Туркстані, здається, що багато зважених неповноважених багаточленних завдань можуть бути перетворені -комплектними у зваженому випадку, якщо ми запитаємо, чи існує рішення, яке має саме задану вагу. Причина полягає в тому, що це може дозволити кодувати задачу суми підмножини у розглянуту задачу.$NP$

Наприклад, у випадку точної ваги, що відповідає ідеальній вазі, ми можемо взяти повний двосторонній графік як вхідний, привласнивши задані ваги до країв певної відповідності, а 0 ваги - всім іншим ребрам. Легко бачити , що цей зважений граф має ідеальне відповідність ваги точно , якщо і тільки якщо існує підмножина ваг , що суми в точності W . (Якщо є такий підмножина, то ми можемо взяти відповідні краї з фіксованого узгодження і розширити його до ідеального узгодження з 0-ваговими ребрами, використовуючи, що це повний двосторонній графік.) Я думаю, подібний простий трюк може працювати і для ряду інших проблем.$W$$W$

Графічне врівноваження (також відоме як Min Out-градусна орієнтація) - ще один приклад цього явища. У цій задачі нам дається графік непрямого зваженого краю. Мета полягає в тому, щоб орієнтувати краї так, щоб отриманий (зважений) максимальний ступінь диграфа був мінімізований.

Проблема часто мотивується сценарієм планування. Уявіть, що кожна вершина є процесором, і кожен край - це завдання, яке може працювати лише на одній з двох його кінцевих точок. Вага краю є довжиною відповідного завдання, а мета - мінімізувати простір.

Проблема полягає в NP-жорсткому і жорсткому APX, навіть якщо всі ваги дорівнюють 1 або 2 (див. Ebenlendr et al. "Врівноваження графіків: особливий випадок планування незв'язаних паралельних машин" у SODA 2008). Однак він є у P для невагомих графіків (див. Асахіро та ін. "Класи графіків та складність орієнтації графіка, мінімізуючи максимально зважений перевершення" в CATS 2008).

Можливо, це лише тривіальний приклад, і ви можете вважати це виродженим випадком, але перший приклад, який мені прийшов у голову, - це проблема продавця подорожей (де зазвичай передбачається, що графік є повним). Зауважте, що невагомою версією є Гамільтонівський цикл, який є тривіальним для повних графіків.

Знаходження шляху мінімальної вартості з обмеженням затримки (він же називається проблемою обмеженого найкоротшого шляху) тут, здається, підходить.

Припустимо, що граф , функція затримки d : V → Н + , функція витрат гр : → N + , в число D ∈ N + і дві вершини їв , т ∈ V .$G=(V,E)$$d:V\to\mathbb {N}^+$$c:\to\mathbb {N}^+$$D\in \mathbb {N}^+$$s,t\in V$

Проблема полягає в пошуку мінімальної вартості шлях, так що затримка шляху не більше ніж D .$s-t$$D$

$\forall v\in V:d(v) =1$$hop-count$

Якщо проблема зважена, вона стає обмеженим найкоротшим шляхом , який, як відомо, є повним NP навіть у DAG.

Проблема Local Max Cut з мікрорайоном FLIP є повною для PLS у загальних цілочислених графах.

А. А. Шеффер та М. Яннакакіс. (1991). Прості локальні проблеми пошуку, які важко вирішити. Журнал обчислювальної техніки SIAM, 20 (1): 56-87.

Однак якщо найбільша маса має поліном за розміром графіка, то локальні поліпшення потенціалу (ваги зрізу) збігатимуться за час полінома, оскільки кожне поліпшення збільшуватиме потенційну функцію щонайменше на одну, а потенційну функцію поліноміально обмежена. (З загальною вагою, пошук рішення, доступного за допомогою місцевих удосконалень у конкретному стартовому розрізі, завершено PSPACE.)

Подібна річ трапляється і в інших «потенційних іграх».

Продавець подорожей відкритий на графіках, що продаються, але цикл Гамільтона (не зважений варіант), як відомо, є многочленом.

Обговорення обох проектів з відкритими проблемами:

http://cs.smith.edu/~orourke/TOPP/P54.html

На 2K_1-вільний Максимальний зріз є поліном, а зважений максимальний зріз - NP-повним.