Які частини теорії типу гомотопії неможливі в Агді чи Кок?

Коли ми дивимось книгу, теорія типу гомотопії - ми бачимо наступні теми:

Homotopy type theory 
2.1 Types are higher groupoids
2.2 Functions are functors
2.3 Type families are ﬁbrations
2.4 Homotopies and equivalences
2.5 The higher groupoid structure of type formers
2.6 Cartesian product types
2.7 S-types
2.8 The unit type
2.9 P-types and the function extensionality axiom
2.10 Universes and the univalence axiom
2.11 Identity type
2.12 Coproducts
2.13 Natural numbers
2.14 Example: equality of structures
2.15 Universal properties

Тепер ми знаємо, що не всі теорії типу гомотопії можливі - це Агда і Кок .

Моє запитання: Які частини теорії типу гомотопії неможливі в Агді чи Кок?

type-systems

— хокі
джерело

Не особливо добре сформульоване питання. Який взаємозв'язок між переліком тем і питанням?

— Дейв Кларк

@Dave Clarke, Перелік тем виглядає як контекст розуму питаючого, тому відповідач знає, що є початковою точкою запитувача, і може відповідно відповісти. Інші учні також можуть оцінити відповідь у тому ж контексті і зрозуміти, що відповідь, ймовірно, може бути їм корисною, якщо відповідач продуманий і хитрий щодо людської природи. Сподіваюся, що це також допоможе в інших майбутніх розмовах.

— codehot

Відповіді:

Якщо ви подивитесь на Примітки до розділу 8, ви побачите те, що вже було оформлено, і я думаю, що це багато. Є бібліотека Coq HoTT та бібліотека Agda HoTT-Agda, які формалізують великі куски теорії типу гомотопії.

Для того, щоб все зробити в Coq, нам була потрібна спеціальна версія Coq, яка була виправлена тільки для цілей HoTT. Однак Coq рухається в напрямку підтримки теорії типу гомотопії, тому перед тим, як довго ми могли б зробити це за допомогою стандартного Coq.

В Агді треба включити --without-K опцію, інакше Agda вважає, що всі типи є 0-типами. Існують певні тривалі сумніви щодо того, чи --without-Kсправді позбавляється припущення, що все є 0-множиною, чи, можливо, можна було б знову ввести його в Агду за допомогою хитрого використання шаблонів відповідностей.

Наступні аспекти формалізації Coq та Agda є незадовільними:

Аксіома однозначності викладена як гіпотеза. Було б краще, якби він був вбудований в систему. Зокрема, ми хотіли б, щоб Кок і Агда зрозуміли правила обчислення аксіоми Універсальності.
Аналогічно, нам потрібно використовувати хаки, щоб отримати ефективні типи індуктивності. Знову ж таки, краще було б мати безпосередню підтримку.

Проблема з вищезазначеними недоліками полягає в тому, що ніхто не знає, як їх виправити навіть теоретично. Це активний напрямок досліджень.

Крім цього, я думаю, що справедливо сказати, що HoTT можна в основному робити в Coq і Agda, тільки не в оптимальний спосіб.

— Андрій Бауер
джерело

Дякую, чи добре описано, чому однозначність та вищі індуктивні типи не відповідають нормам теорій типів, таких як Agda та Coq?

— Мартін Бергер

@MartinBerger це, мабуть, може бути окремим питанням (з деякими визначеннями для більш випадкових читачів тощо).

— Артем Казнатчеєв

Проблема з однозначністю та HIT полягає не в тому, що вони "не сильно відповідають теоріям типів, як Agda та Coq", а в тому, що "ми не знаємо, як правильно їх робити в будь-якій теорії типів".

— Андрій Бауер

@AndrejBauer Універсальність та вищі індуктивні типи формалізуються в HoTT-описі, що є (напівформальною) теорією типів. Що є відсутнім інгредієнтом, який перешкоджає правильній формалізації в Agda / Coq? Якщо пов'язано, якщо ви готові відмовитись від Curry-Howard, чи є якісь труднощі у формулюванні одноманітності та вищих індуктивних типів у доказі типу LCF, як Ізабель, використовуючи наприклад LF як мета-мову для формалізації правил доказування?

— Мартін Бергер

Назвіть правила обчислень ua, константа яких свідчить про аксіому однозначності? Які правила обчислення для HIT? У нас є кілька ідей, але нічого водонепроникного.

— Андрій Бауер

Наскільки я розумію, в Агді можна представити все це (тобто всю Главу 2 - на github є бібліотека, що так і є; AFAIK, те саме стосується Coq). Лише коли ви потрапляєте на пізніші глави, справи стають непростими. Є два очевидних пункту:

Коло. Це представлено (в Agda) за допомогою а постулату , і тому не так приємно, як інші речі.
$\infty$ -групоїди. Але це відкрита проблема щодо того, як нескінченно представити нескінченно багато законів узгодженості.

Є й інші пункти, але я ще не встиг прочитати цю частину формації Agda ... Але, за великим рахунком, більшість HoTT можна добре формалізувати як в Agda, так і в Coq.

Що ще важливіше, обидві команди розробників активно працюють над адаптацією своїх систем, щоб більше HoTT можна було обробляти, принаймні, коли є чітка теорія, як реалізувати необхідні функції. Це виявилося складною частиною.

— Жак Карет
джерело