NP-повна властивість графа, яка є спадковою, але не адитивною?

12

Властивість графа називається спадковою, якщо вона закрита щодо видалення вершин (тобто всі індуковані підграграфи успадковують властивість). Властивість графа називається аддитивною, якщо вона закрита щодо прийняття роз'єднаних спілок.

Не важко знайти властивості, які є спадковими, але не добавками. Два простих прикладу:

$\;\;\;$ (1) Графік закінчений.

$\;\;\;$ (2) Графік не містить двох вершин-роз'єднаних циклів.

У цих випадках очевидно, що властивість успадковується за допомогою індукованих підграфів, але, беручи два розрізнені графіки, які мають властивість, їх об'єднання може не зберегти його.

Обидва вищенаведені приклади мають властивості, які визначаються політомією (хоча для (2) це дещо менш тривіально). Якщо ми хочемо більш важких властивостей, їх все-таки можна створити, дотримуючись шаблону (2), але замінивши цикли на більш складні типи графіків. Потім, однак, ми можемо легко працювати в ситуацію , коли проблема навіть не залишиться в , при стандартних припущеннях складності, таких як . Здається менш тривіальним знайти приклад, який залишається в межах , але все ще важко. $NP$ $NP\neq coNP$ $NP$

Питання: Чи знаєте ви (бажано природне) -повне властивість графа, яке є спадковим, але не адитивним? $NP$

— Андрас Фараго
джерело

4

Ви вже задали низку питань щодо "природних" властивостей. Можливо, буде корисно зрозуміти, в чому полягає мотивація деяких із цих питань.

— Суреш Венкат

1

@Suresh Я хотів би краще зрозуміти, що робить проблему природною, а не надуманою, штучною. Я думаю, що поняття природності є важливим мостом між теорією та реальністю, і його варто вивчити. Мені інтригує те, що хоча ми не маємо жодного формального визначення, які проблеми є "природними", люди зазвичай мають чіткий консенсус щодо того, природна конкретна проблема чи ні. Можливо, я опублікую окреме запитання щодо цього питання, щоб дізнатися більше про те, як його бачать інші.

— Андрас Фараго

9

$k$ $k$

Зрозуміло, що використання індукованих підграфів не може зробити мінімальний розмір такого розділу. З іншого боку, коли ви берете роз'єднаний об'єднання двох графіків, ви повинні взяти об'єднання розділу в кліки кожного з них.

— Вініцій дос Сантос
джерело

k

$k$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

h e r e d i t a r y

$hereditary$

k

$k$

k

$k$

4

k

$k$

k

$k$

1

k = 3

$k=3$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

1

Розглянемо цю проблему

$G$ $P$ $Q$

Він залишається NP повним, навіть якщо властивості є спадковими.

Очевидно, що рішення вищевказаної задачі для графа також забезпечує рішення для індукованих підграфів. Але після об'єднання графіків тієї ж сім’ї, що і G, не може бути вирішено за допомогою цього рішення.

Наприклад, розділення загальних графіків на графіках неперервних одиничних інтервалів є NP повним, але після з’єднання всіх можливих ребер (що робить графік завершеним) вирішується завдання тривіально.

— Дібяян
джерело

1

Зверніть увагу, що питання шукає властивість, яка не є адитивною. У вашому прикладі ніщо не гарантує, що повинні існувати два графіки, які мають обидва властивості, але їх неперервне об'єднання не має.

— Андрас Фараго

1

$G = (V,E)$ $C_1,\ldots,C_m$ $C_i$ $V$ $E$ $C_i$

$k \geq 3$ $G$ $k$

$k = 2$

Якщо (1) вірно, то він повинен відповісти на ваше запитання, оскільки він надає властивість, яка є спадковою, але явно не адитивною.

(ПРИМІТКА ДОПОМОГА: домисло (2) відрізняється від "гіпотези подвійного циклу" Секереса та Сеймура, незважаючи на омонімічність).

— Супер8
джерело

1

Ця властивість не є спадковою. Видалення вершини може збільшити необхідну кількість циклів, щоб охопити всі ребра, оскільки видалена вершина може усунути цикл, який використовувався для покриття багатьох ребер. Найпростіший приклад - коли весь графік є лише циклом. Видалення вершини робить неможливим будь-яке покриття циклу, оскільки жодних циклів не залишається.

— Андрас Фараго

G

$G$

G

$G$

v

$v$

v

$v$

k

$k$