Компактно представляє набір рішення екземпляра SAT

Це питання виникло в мене на думці, прочитавши статті Андраса Саламона та Коліна МакКіллана до мого попереднього питання « Підрахунок рішень формул Monotone-2CNF» .

EDIT 30 - ^го березня 2011 року
Додана питання п ° 2.

EDIT 29 - ^го жовтня 2010 р
Питання перефразувати після пропозиції Андраш формалізувати його через поняття приємного уявлення безлічі рішень (я змінив його поняття трохи).

Нехай - загальна формула CNF з змінними. Нехай це її множина рішення. Зрозуміло, може бути експоненціальною в . Дозволяє $F$ $n$ $S$ $|S|$ $n$ є поданням . Як кажуть, єприємним,якщо і лише тоді, коли всі факти справжні: $R$ $S$ $R$

має розмір полінома в . $R$ $n$
дозволяє перерахувати розчини в із затримкою поліномів. $R$ $S$
дозволяє визначитиза полиномний час (тобто без перерахування всіх розчинів). $R$ $|S|$

Було б чудово, якби в поліноміальний час можна було побудувати такий для кожної формули. $R$

Запитання:

Хто-небудь коли-небудь доводив, що існує сімейство формул, для яких такого хорошого уявлення не може існувати?

Хтось вивчав зв’язок між поданням та симетріями, виставленими ? Наочно симетрія повинна допомогти компактно представляти , оскільки вони уникають явного подання рішення підмножини , якщо на насправді зводиться до того тільки одне рішення (тобто з кожної ви можете відновити весь інший , застосовуючи правильну симетрію, таким чином, кожен є репрезентативним для цілого $S$ $F$ $S$ $S' \subset S$ $S'$ $s_i \in S'$ $s_j \in S'$ $s_i \in S'$ ) $S'$

— Джорджіо Камерані
джерело

Я думаю, вам потрібно трохи обмежити своє питання. Як було сказано, сама формула

являє собою представлення розміру

в поліномі . Але це, очевидно, не допомагає мотивації, що випливає з попередньої проблеми. Можливо, ви хочете трохи зв’язати (многочлен?) На складність відтворення

(або, можливо, один елемент

, або обчислення

) із представлення розміру полінома ...

F

$F$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

| S |

$|S|$

— Джошуа Грохов

@Joshua: Ти маєш рацію, дякую. Я збагатив питання, щоб уточнити. Будь ласка, дайте мені знати, чи зараз це нормально.

— Джорджіо Камерані

До речі, одним із способів представити набір рішень є "І / АБО дерево пошуку". Кожен екземпляр - це листя дерева, і підрахунок можна зробити, не перераховуючи всі рішення.

— Ярослав Булатов

@Yaroslav: Цікаво ... ви могли б детальніше розробити детальніше?

— Джорджіо Камерані

Відповіді:

Як зазначено (редакція 3), на питання є проста відповідь: ні.

Причина полягає в тому, що навіть для сильно обмеженого класу уявлень, заданого булевими схемами із воротами AND, OR чи NOT, невідомі нижні межі не відомі. (Очевидно, що схема, яка представляє , також буде представляти неявно, і рішення легко перерахувати, змінивши входи в схему.) $F$ $S$

Для ще більш обмежених уявлень, таких як монотонні або контури постійної глибини, відомі експоненціальні нижні межі. Існують також експоненціальні нижні межі для подання формул у формі CNF або DNF, хоча вони можуть розглядатися як особливі випадки контурів постійної глибини. Нарешті, BDD-уявлення можна розглядати як компактні форми DNF, але існують формули, для яких BDD вимагає експоненціального розміру для будь-якого упорядкування змінної.

Щоб зробити ваше питання більш точним, будь ласка, розгляньте відповідь @ Джошуа докладно і поясніть, що ви маєте на увазі під "тривіальним для перерахування кожного окремого рішення".

Для версії 4 зверніть увагу на твердження про розмір BDD. Частина того, що ви, начебто, запитуєте: чи є більш компактне представлення формул DNF, ніж BDD? Нехай "BDD має суперполіноміальний розмір" означає "кожен BDD, що представляє ту саму функцію, що і , незалежно від впорядкованих змінних, має суперполіноміальний розмір", а "приємне представлення" означає "подання, яке дозволяє рішення перераховувати з поліноміальною затримкою". Це більш конкретне питання потім стає: $B$ $B$

чи є сімейство формул і приємне представлення, яке має поліноміальний розмір, тоді як його BDD мають надполіноміальний розмір?

Чи захоплює це суть того, про що ви запитуєте?

— Андраш Саламон
джерело

@ András: Я додав розділ для уточнення.

— Джорджіо Камерані

@ András: Я вибачаюся, якщо моєму питанню не вистачає точності. Ваше речення: "Чи є більш компактне подання формул DNF, ніж BDD?" фіксує суть того, про що я прошу. Таке більш компактне подання повинно бути можливим для кожної формули (навіть тієї, що має суперполіномічну кількість рішень).

— Джорджіо Камерані

@ András: Привіт, я трохи більше подумав про це. Краще відображення суті того, що я задаю, - це питання "Чи є приємне представлення, яке має поліноміальний розмір для кожної формули?" . Таке представництво повинно бути "найкращим", незалежно від того, як ведуть себе BDD порівняно з ним. Ваша пропозиція затримки поліномів ідеально відповідає ідеї, яку я маю на увазі.

— Джорджіо Камерані

@Walter: можливо, варто відредагувати питання відповідно до цієї переформулювання або опублікувати нове запитання.

— Андрас Саламон

@ András: Я перефразував питання. Визначення приємного представлення трохи змінилося (я припускав, що це термін вашого винаходу, а не термін, добре знайдений в літературі, чи не так?).

— Джорджіо Камерані

[Ця відповідь була у відповідь на версію до редакції 6 від 29 жовтня 2010 року.]

$R(\varphi)$ $S(\varphi)$ $\varphi$ $R$ $|R(\varphi)| \leq poly(n)$ $\varphi$ $n$ $A$ $A(R(\varphi)) = S(\varphi)$ $A$ $R(\varphi))$ $poly(n, |S|)$

$S$ $R$ $A$ $|S| \leq poly(n)$ $R(\varphi) = (0, S)$ $|S| \geq 2^{\Omega(n)}$ $R(\varphi) = (1, \varphi)$ $A(0, S)$ $S$ $A(1, \varphi)$ $S$ $\varphi$ $|S| = 2^{\Omega(n)}$ $O(|S|)$

$R$ $A$ $p$ $S$ $poly(n)$ $S$ $p$ $|S|$ $p$ $A$ $|S|$

$R$ $poly(n, |\varphi|)$ $P \neq PromiseUP$ $\varphi$ $A(R(\varphi))$ $\varphi$ $poly(n)$

— Джошуа Грохов
джерело

R

$R$

A

$A$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1,\varphi)$

R

$R$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1, \varphi)$

S

$S$

n

$n$

O (| S |)

$O(|S|)$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1, \varphi)$

φ

$\varphi$