Твердість UGC предиката

Фон :

У оригінальному документі UGC ( PDF ) Subhash Khot він доводить твердість UG для вирішення питання про те, чи заданий екземпляр CSP з обмеженнями всієї форми Не всі рівні (a, b, c) над потрійним алфавітом допускає завдання, що задовольняє 1 - обмежень або не існує завдань, що задовольняють $\epsilon$обмежень для довільно малихϵ>0.$\frac{8}{9}+\epsilon$$\epsilon > 0$

Мені цікаво, чи був узагальнений цей результат для будь-якої комбінації -арийних обмежень для ℓ ≥ 3 та змінних областей розміром k ≥ 3, де ℓ ≠ k ≠ 3 . Тобто,$\ell$$\ell \ge 3$$k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

Питання :

Чи є відомі результати твердості апроксимації для предиката для x i ∈ G F ( k ) для ℓ , k ≥ 3 та ℓ ≠ k ≠ 3 ? $NAE(x_1, \dots, x_\ell)$$x_i \in GF(k)$$\ell, k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

Мене особливо цікавить поєднання значень ; наприклад, предикат Не-все-рівний ( x 1 , … , x k ) для x 1 … , x k ∈ G F ( k ) .$\ell = k$$x_1, \dots, x_k$$x_1 \dots, x_k \in GF(k)$

Я зрозумів, що те, що я стверджував вище, насправді відомо.

Для і довільного k ≥ 3 це є у статті FOCS 2002 "Твердість фарбування 3-х кольорових 3-рівномірних гіперграфів" Хота (у статті йдеться про загальну k , хоча заголовок говорить лише про 3-кольоровий випадок) .$\ell = 3$$k \ge 3$$k$

Для та k ≥ 2 відомо фактично більш сильна твердість. Навіть якщо насправді є присвоєння лише двох значень змінним, що задовольняє всім обмеженням NAE (іншими словами, ℓ -однорідний гіперграф може бути пофарбований за допомогою двох кольорів без будь-якого монохроматичного гіперперенесення), все одно NP-важко знайти призначення з розміру домену k, який задовольняє принаймні 1 - 1 / k ℓ - 1 + ϵ обмеження NAE (для довільної постійної ϵ > $\ell \ge 4$$k \ge 2$$\ell$$k$$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$$\epsilon > 0$). Це легко випливає з того факту, що відомий результат нерозбірливості для 2-го забарвлення гіперграфа дає сильне твердження про щільність у випадку здоровості. Офіційне твердження з'являється в моєму документі SODA 2011 з Алі Сіноп "Складність пошуку незалежних множин в обмежених ступенях (гіпер) графіках низького хроматичного числа" (лема 2.3 в остаточній версії SODA та лема 2.8 в старій версії, доступній на ECCC http://eccc.hpi-web.de/report/2010/111/ ).

Я приземлився на цю сторінку з пошуку про NAE-3SAT.

Я майже впевнений, що для проблеми, яку ви ставите, вам слід важко сказати, чи є примірник задоволеним, або якщо може бути задоволено максимум частки обмежень. Тобто, щільний результат твердості (відповідності , що просто вибираючи випадкове призначення було б досягти), для здійсненних випадків, і немає необхідності в ОЗК.$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$

Для і ℓ ≥ 4 це випливає з фактора Хастада 7/8 + епсилона, невідповідність для 4-множинного розщеплення (яке потім може бути зведено до k-розщеплення для k > 4 ). Якщо заперечення нормально, можна також скористатися результатом його твердості для Max ( ℓ - 1 ) -SAT.$k=2$$\ell \ge 4$$k > 4$$\ell-1$

Для , Хот довів це у статті FOCS 2002 "Твердість фарбування 3-х кольорових 3-рівномірних гіперграфів". (Тобто він видалив початкове припущення про UGC.)$k=\ell=3$

$\ell=3$$k\ge 3$$x_i+a,x_j+b,x_k$$a,b$

У загальному випадку я не знаю, чи це було десь записано. Але якщо вам це справді потрібно, я, певно, можу щось знайти або перевірити претензію.

Прасад Рагавендра у своєму кращому документі STOC'08 довів, вважаючи, що унікальна концепція ігор, що простий алгоритм програмування напівфіксованого програмного забезпечення дає найкраще наближення до будь-якої проблеми задоволення обмежень (включаючи NAE) з обмеженнями на постійну кількість змінних в кожній і з постійним алфавітом. Щоб насправді знати, що таке коефіцієнт твердості для NAE, потрібно зрозуміти, наскільки добре працює простий алгоритм, тобто довести розрив цілісності для програми. Я не знаю, чи хтось вже робив це для НАЕ у всій своїй загальній чи ні.