Наслідки існування сильно поліноміального алгоритму лінійного програмування?

Одним із святих граалів проектування алгоритму є пошук сильно поліноміального алгоритму лінійного програмування, тобто алгоритму, час виконання якого обмежений поліномом у кількості змінних і обмежень і не залежить від розміру подання параметрів (якщо припустити арифметична вартість одиниці). Чи вирішення цього питання матиме наслідки поза кращими алгоритмами лінійного програмування? Наприклад, чи існування / відсутність такого алгоритму матиме наслідки для теорії геометрії чи складності?

Правка: Можливо, я повинен уточнити, що я маю на увазі під наслідками. Я шукаю математичні наслідки чи умовні результати, наслідки, які, як відомо, справді зараз . Наприклад: "поліноміальний алгоритм для LP в моделі BSS розділяв би / збивав класи алгебраїчної складності FOO і BAR", або "якщо немає сильно поліноміального алгоритму, то він вирішує таку-то таку гіпотезу про політопи", або "a сильно поліноміальний алгоритм для задачі X , яка може бути сформульована як LP б цікаве наслідок чи ». Гиршева гіпотеза була б хорошим прикладом, за винятком того, що вона застосовується лише в тому випадку, якщо симплекс є многочленом.

— Ян
джерело

Зрозуміло, що метод доказування, який використовується для показу цього результату, може бути навіть цікавішим, ніж результат з точки зору довгострокового впливу.

— Суреш Венкат

Відповіді:

Це показало б, що ігри на паритет та середню виплату є у P. Див. Свен Шеу. Від паритетних і виграшних ігор до лінійного програмування. MFCS 2009.

— Рахул Савані
джерело

відмінна. Я б хотів, щоб я міг дати це більше ніж +1. це дуже класний результат.

— Суреш Венкат

Чи може хтось розробити, як сильно поліноміальний алгоритм для LP мав би це мати на увазі? Схеве будує екземпляр LP з многочленним розміром з подвійно експоненціально великими числами. Чудово. Тепер ми запускаємо на ньому сильно поліноміальний алгоритм часу. Але чи не потрібно нам моделювати арифметичні операції, які робить цей алгоритм? Як здійснюється таке моделювання, не витрачаючи часу на суперполіноми? (Згадаймо, числа є вдвічі експоненціальними; я думаю, можна було б зробити китайський трюк із залишками, але чи можемо ми порівняти числа таким чином у поліноміальний час?).

— slimton

Я ще не уважно прочитав цю статтю, але, як я її розумію, вони лише доводять, що проблема полягає в P в реальній оперативній пам’яті / BSS ( en.wikipedia.org/wiki/Blum%E2%80%93Shub%E2 % 80% 93Smale_machine ), не нормальна версія P. Ви можете визначити моделі обчислення для будь-якого кільця R (див. Ams.org/notices/200409/fea-blum.pdf ). Через отримуємо звичайні машини Тьюрінга, а над реалами отримуємо модель BSS. Кожне кільце має свою версію P, яка може не дорівнювати стандартній П.

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$

R

$\mathbb{R}$

— Ян

Пояснення до мого попереднього коментаря: якщо існує сильно поліноміальний алгоритм для LP, то він є поліномом в BSS-моделі, і в цьому випадку папір передбачає паритет і розплату ігор також є в P в BSS-моделі.

— Ян

@Ian: Іншими словами: ця відповідь була дещо оманливою (але це не заважало вам сприймати її як дійсну відповідь).

— slimton

Це залежить від відповіді. Якщо створений алгоритм має час роботи , це мало б мало впливу. З іншого боку, якщо це призведе до нового способу вирішення LP, це може мати величезний вплив. Наприклад, якщо я правильно пам'ятаю історію (і я можу бути абсолютно невірним ), алгоритм еліпсоїдів, наприклад, крім його теоретичної значущості, приводить (?) До розробки методу внутрішніх точок, який у деяких випадках був швидшим, ніж симплекс алгоритм. Це призводить до значного прискорення на практиці, оскільки обидва підходи були видалені для максимальної межі того, що можна зробити. $(d n)^{Ackerman(10000)}$

— Саріель Хар-Пелед
джерело

Але ці умови є майже будь-якими теоретичними результатами: вони можуть бути або не корисні залежно від часу виконання, а методи / ідеї в результаті можуть призвести до майбутніх успіхів.

— Ян

Не зовсім. Якщо якась форма гіпшової гіпотези є правдивою, а доказ є конструктивним, то це майже напевно призведе до більш швидких рішень для LP. Коротше кажучи, якщо питання є конкретним, то його наслідки зрозумілі, а якщо питання широке, то це може призвести до нічого. Або кажучи інакше, єдиний впевнений наслідок алгоритму багаточленного часу для LP полягає в тому, що ми зрозуміли б проблему краще, ніж це робимо зараз.

— Саріель Хар-Пелед

Ось один із наслідків для геометрії: Сильнополіномічне обмеження для будь-якого варіанту (рандомізованого чи детермінованого) симплексного алгоритму передбачає поліноміальну межу на діаметрі будь-якого політопного графіка. Це означає, що «многочленна версія» Гірша передбачає правду.

— Шива Кінталі
джерело

але немає підстав вважати, що алгоритм сильно поліноміального часу для LP має проходити методом симплекс. Найвідоміші до цих пір методи (субекспоненціальні) використовують стратегію випадкового відбору та рекурсії.

— Суреш Венкат

На жаль Я пропустив суть.

— Шива Кінталі

Це справедливо лише в тому випадку, якщо симплекс сильно поліноміальний. Я шукаю результати, які мають більш загальне значення. Можливо, що полінома гіршевської гіпотези є помилковою, але інший алгоритм є сильно поліноміальним, або що хипонічна гіпоша гіпома є вірною, але симплекс є експоненціальним, оскільки не може знайти короткий шлях у поліноміальний час.

— Ян

@Suresh: Насправді я майже впевнений, що згадані вами субекспоненціальні випадкові вибірки + рекурсійна стратегія (Кларксон-Матушек-Шарір-Вельцл / Калай, правда?) - це подвійний алгоритм симплексу. (Але це не суперечить вашій точці.)

— Jeffε

чекай. Хіба Майкл Голдвасер не працював над цим давно в статті SIGACT? Хм. тепер мені потрібно піти і копати.

— Суреш Венкат