Довідка для мов Dyck -повна

12

Мова мов визначається наступною граматикою над набором символів . Інтуїтивно зрозумілі мови Dyck - це мови збалансованих дужок різного роду. Наприклад, є в але це не так. $\mathsf{Dyck}(k)$

S \to S S | (_{1} S)_{1} | \dots | (_{k} S)_{k} | ϵ

$S \rightarrow SS \,|\, (_1 S )_1 \,|\, \ldots \,|\, (_k S )_k \,|\, \epsilon$

{(_{1}, \dots, (_{k},)_{1}, \dots,)_{k}}

$\{(_1,\ldots,(_k,)_1,\ldots,)_k\}$

k

$k$

([]) ()

$(\,[\,]\,)\,(\,)$

D y c k (2)

$\mathsf{Dyck}(2)$

([)]

$(\,[\,)\,]$

У папері

Динамічні алгоритми мов Діка за Франдсеном, Хусфельдом, Мільтерсеном, Раухе та Скайумом, 1995 р.,

стверджується, що наступним результатом є фольклор:

$\mathsf{Dyck}(k)$ - -повне під скороченнями . $\mathsf{TC}_0$ $\mathsf{AC}_0$

Чи є відома посилання на вищезазначене твердження? Зокрема, я шукаю будь-які результати, які показують хоча б одне з наступних:

$\mathsf{Dyck}(k)$ знаходиться в для довільного . $\mathsf{TC}_0$ $k$
$\mathsf{Dyck}(k)$ є $\mathsf{TC}_0$ -твердий для довільного $k$ .

Найближчий папір, який я можу знайти, - це

Переріз Бі-Ліпшица між булевим кубом та кулькою Хеммінга , Бенджаміні, Коен та Шинкар, 2013

який перенаправляє мене до розпізнавання простору журнального простору та перекладу мов дужок Лінчем, який довів, що (тобто нормальні збалансовані дужки) є в . $\mathsf{Dyck}(1)$ $\mathsf{TC_0}$

Будь-які відповідні документи також вітаються. Дякую!

— Сісен-Чі Чанг 張顯之
джерело

5

Див. "Про відносну складність деяких мов у " Barrington, Corbett $\mathsf{NC}^1$

— SamiD
джерело

6

Ось зменшення від до . (Це означає , що є зводиться до для всіх .) Для того , щоб зробити це, ми будуємо глибини ланцюга постійного полі-розміру , чиї ворота , , і . $AC_0$ $\rm Majority$ $Dyck(1)$ $\rm Majority$ $AC_0$ $Dyck(k)$ $k \geq 1$ $AND$ $OR$ $NOT$ $Dyck(1)$

З огляду на екземпляр з зробити $x \in \{0,1\}^n$ $\rm Majority$
Обчисліть , замінивши кожен на і кожен на . $y \in \{0,1\}^{2n}$ $0$ $(($ $1$ $()$
Тепер для кожного нехай - рядок, отриманий шляхом об'єднання з -малозахисними дужки, тобто . $i = 1,\dots, n/2$ $z_i$ $y$ $2i$ $z_i = y \circ )^{2i}$
Якщо для деякого то ACCEPT. В іншому випадку ОТМЕНИТИ. $z_i \in Dyck(1)$ $i = 1,\dots, n/2$

Це можна чітко зробити за допомогою контуру постійної глибини. (Обчислення може бути виконано на глибині 1, а обчислення останнього кроку здійснюється за допомогою ворота.) $z_i$ $OR$

Неважко також помітити, що ця схема дійсно обчислює тому що тоді і лише тоді, коли . $\rm Majority$ $z_i \in Dyck(1)$ ${\rm weight}(x) = n - i$

— Ігор Шинкар
джерело

Дякую. Чи знаєте ви будь-який папір, який містить результат вище? (Це нормально, якщо папір не оригінальна / найдавніша, я намагаюся простежити історію.)

— Сісен-Чі Чанг 張顯之

Гммм ... я чомусь припустив, що подібне скорочення з'явилося в тій статті Лінча ... Я не знаю жодної іншої посилання на це.

— Ігор Шинкар