Повнота NP над реалізацією

Нещодавно я вивчаю модель обчислення BSS (див., Наприклад, складність та реальне обчислення; Блюм, Кукер, Шуб, Смайл.)

Для реал показано, що, враховуючи систему многочленів , існування нулів -повне. Однак мені цікаво, якщо ці є поліномами, мають лише цілі коефіцієнти, тобто , все ж проблема тверда? (очевидно, в ).$R$$f_1,\cdots, f_m\in R[x_1, \cdots, x_n]$$NP_R$$f$$f_1,\cdots, f_m\in Z[x_1, \cdots, x_n]$$NP_R$$NP_R$

Я підозрюю, що так, але чи є простий доказ?

Я думаю, що відповідь - ні , якщо припустити, що (я вважаю, я даю доказ нижче, але потенційно їх достатньо тут є чіткі питання, що я з обережністю ставляться до своїх претензій).$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$

Підтвердженням того, що відповідь - це не припущення$\mathsf{P}_\mathbb{R} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$ : Насправді, я вважаю, що таке твердження є більш сильним:

Лемма: для будь-якої проблеми рішення BSS над , якщо poly-time-BSS зводиться до проблеми на цілих вхідних даних, тоді .$L$$\mathbb{R}$$L$$_{\mathbb{R}}$$L \in \mathsf{P}_\mathbb{R}$

Доказ леми : припустити , що було поліноміальний час ПБСА скорочення в порівнянні з до задачі про цілочисельних входах, задається машина . Для входів, що складаються з реальних параметрів, розгорніть обчислення в алгебраїчне дерево обчислень. Листя є лише кінцево багато, і результат на кожному аркуші - це єдина раціональна функція вхідних параметрів. Для того, щоб раціональна функція реальних входів завжди виводила ціле число, вона повинна бути постійною функцією, а отже, не залежати від введення. Однак яка постійна функція використовується на кожному листі, звичайно, може залежати від гілок. Однак, оскільки є рівномірною машиною, їх може бути тільки$_{\mathbb{R}}$$L$$M$$n$$M$$M$$O(1)$ вихідні вузли, і, отже, лише вихідні значення. Таким чином, може бути тривіально модифікованим, щоб фактично вирішити у поліноміальний час. QED$O(1)$$M$$L$

Тепер візьмемо як справжню реальність справжніх многочленів. Якщо , то і леми немає зменшення від до будь-якої проблеми на цілих вхідних даних (зокрема, до реальної можливості цілих поліномів).$L$$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$L \notin \mathsf{P}_{\mathbb{R}}$$L$

Обіцяти проблему? : Ще одна потенційна проблема, пов’язана з вашим запитанням, полягає в тому, що реальна доцільність цілих поліномів може бути не в , а лише у своїй версії з обіцянками. Проблема тут полягає в тому, що для перевірки того, що вхід (наприклад, коефіцієнт многочлена ) є цілим числом, вимагає часу, який залежить від величини , тоді як набір екземплярів (усі екземпляри, а не лише так-екземпляри) для проблема вирішення повинна вирішуватися в , останнє означає, що вона займає поліноміальний час у кількості параметрів.$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$f_i$$x$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{P}_\mathbb{R}$, а не їх величини. Я вважаю, що це тісно пов'язане з тим, що цілі числа не визначаються в першому порядку в межах дійсних цифр. (По суті, найкраще BSS -машина може зробити, щоб перевірити, чи є вхід цілим числом, - це обчислити цілу частину шляхом обчислення потужностей та "двійкового пошуку". Після її обчислення ціла частина , вона просто перевіряє, чи дорівнює це .) Тому я думаю, що проблема реальної доцільності цілих рівнянь є в але, ймовірно, не в (або принаймні здається нетривіальним довести, що він знаходиться в$_{\mathbb{R}}$$x$$x$$2$$x$$x$$\mathsf{PromiseNP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$ ).