Хороша орієнтир для операторів класу складності?

Мене цікавить, чи існують якісь хороші статті-описи чи опитування, до яких я можу звернутися, коли пишу про операторів класу складності : операторів, які перетворюють класи складності, роблячи такі речі, як додавання до них кількісних показників.

Приклади операторів

Далі можна трактувати як мінімальний список операторів, відповідь на які слід описати. Тут $\mathbf C$ - довільний набір мов, над довільним кінцевим алфавітом $\Sigma$ .

$\exists \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\\quad \bigl[x \in L \iff \exists c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \bigr] \end{array} \right\}\right.$

• $\exists$ оператор був введений , по- видимому Вагнера [1], хоча і з позначеннями $\bigvee\! \mathbf C$ , а не$\exists \mathbf C$ . Найвідоміший приклад класупобудований таким чиномє$\mathsf{NP} = \exists \mathsf P$ . Цей оператор приходить з додатковим квантором$\forall$ , в якому$\exists c$ у визначенні замінюється$\forall c$ , що дозволяє легко визначати весь многочлен ієрархії: наприклад,$\mathsf{\Sigma_2^P P = \exists \forall P}$ . Можливо, це може бути перший оператор, який був визначений.

$\oplus \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n)) \;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\bigl[x \in L \iff \#\{ c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \not\equiv 0 \pmod{2}\bigr]\end{array} \right\}\right.$

• оператор схожий на ∃ оператора в тому , що ⊕ C стосується кількості сертифікатів , які існують, які перевіряються в класі С , але замість цього підраховує кількість certficiates по модулю 2 . Це може бути використано для визначення класів ⊕ P і ⊕ L . Подібні оператори " M o d k ⋅ " існують для інших модулів k .$\oplus$$\exists$$\oplus\mathbf C$$\mathbf C$$2$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{\oplus L}$$\mathsf{Mod_k \cdot}$$k$

$\mathsf{co}\mathbf C := \Bigl\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\Big|\, \exists A \in \mathbf C \;\forall x \in \Sigma^\ast: \bigl[x \in L \iff x \notin A \bigr] \Bigr\}$

• Це допоміжний оператор і негласно використовується для визначення , c o $\mathsf{ coNP}$ , c o M o d k L та безлічі інших класів із тих, які, як відомо, не закриті під доповненнями.$\mathsf{coC_=P}$$\mathsf{coMod_kL}$

- з вибаченнями за інтервал$\mathsf{BP}\cdot\mathbf C := \left\{ (\Pi_0, \Pi_1) \,\left|\, \begin{array}{l} \Pi_0, \Pi_1 \subseteq \Sigma^\ast \;\mathbin\&\; \exists A \in \mathbf C \; \exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\left[\begin{array}{l} \bigl(x \in \Pi_0 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \leqslant \tfrac{1}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \mathbin\& \\ \bigl(x \in \Pi_1 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \geqslant \tfrac{2}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \end{array}\right]\end{array}\right\}\right.$

• Очевидно, що оператор був введений Шенінг [2], хоча і для визначення мов (тобто він не допускав розриву ймовірностей) і без використання явних констант $\mathsf{BP}$ або$\tfrac{1}{3}$ . Визначення тут дає обіцянку-проблемиа, з ДА-екземплярамиП1і NO-екземплярами вП0. Зверніть увагу, щоBPP=BP⋅P, аAM=BP⋅NP; цей оператор був використаний Toda і Ogiwara [3]щоб показатищоР#Р⊆BP⋅⊕P.$\frac{2}{3}$$\Pi_1$$\Pi_0$$\mathsf{BPP = BP\cdot P}$$\mathsf{AM = BP\cdot NP}$$\mathsf{P^{\#P} \subseteq BP\cdot\oplus P}$

Зауваження

Іншими важливими операторами, які можна абстрагувати від визначень стандартних класів, є (від класів C = P і C = L ) і C ⋅ C (від класів P P і P L ). У більшості літератури також мається на увазі, що F ⋅ (завдання функцій із класів прийняття рішень) та # ⋅ (отримання класів підрахунку класів прийняття рішень) також є операторами складності.$\mathsf{C_= \cdot\mathbf C}$$\mathsf{C_= P}$$\mathsf{C_= L}$$\mathsf C\cdot\mathbf C$$\mathsf{PP}$$\mathsf{PL}$$\mathsf{F\cdot}$$\#\cdot$

Є стаття Борхерта та Сільвестрі [4], в якій пропонується визначити оператора для кожного класу, але, як видається, в літературі не згадується багато; Я також хвилююся, що такий загальний підхід може мати тонкі дефініційні проблеми. Вони, в свою чергу, посилаються на гарну презентацію Кеблера, Шьонінга та Торана [5], якій, однак, зараз більше 20 років, і, здається, також пропускають .$\oplus$

Питання

Яка книга чи стаття є хорошим посиланням для операторів класу складності?

Список літератури

[1]: К. Вагнер, Складність комбінаторних задач із стислими вхідними уявленнями , Acta Inform. 23 (1986) 325–356.

[2]: У. Шьонінг, Імовірнісні класи складності та низькість , у Зб. 2-я конференція IEEE про структуру в теорії складності, 1987, стор. 2-8; також у J. Comput. System Sci., 39 (1989), стор 84-100.

[3]: С. Тода та М. Огівара. Класи підрахунку принаймні такі ж важкі, як ієрархія полінома-часу , SIAM J. Comput. 21 (1992) 316–328.

[4]: Б. та Борхерт, Р. Сільвестрі, оператори крапок, Теоретичні інформатики, том 262 (2001), 501–523.

[5]: Дж. Кеблер, У. Шьонінг та Дж. Торан, проблема ізоморфізму графіка: її структурна складність, Біркюсер, Базель (1993).

Ось посилання з багатьма визначеннями операторів (хоча не багато деталей):

S. Zachos та A. Pagourtzis, Комбінаційна складність: Оператори класів складності , Збори 4-го Панеленічного логічного симпозіуму (PLS 2003), Салоніки, 7-10 липня 2003 року.

• Він визначає оператор ідентичності , а також оператори c o -, N (що відповідає ∃ вище), B P , R (відповідає обмеженій однобічній помилці), ⊕ , U (відповідає недетермінізму з унікальним прийняттям перехід), P (відповідає необмеженій двосторонній помилці) та Δ (що для класу C утворює C ∩ c o C ).$\mathcal E$$\mathsf{co}$$\mathsf{N}$$\exists$$\mathsf{BP}$$\mathsf{R}$$\oplus$$\mathsf U$$\mathsf P$$\Delta$$\mathbf C$$\mathbf C \cap \mathsf{co}\mathbf C$

• Це показує, що:

  1. - елемент ідентичності щодо композиції [Визначення 1];$\mathcal E$
  2. - є самооберненою [Визначення 2];$\mathsf{co}$
  3. - idempotent [Визначення 3] - неявним є те, що B P , R , ⊕ , U і P також є ідентичними;$\mathsf{N}$$\mathsf{BP}$$\mathsf{R}$$\oplus$$\mathsf U$$\mathsf{P}$
  4. і P рухаються з c o - [Визначення 4 і 8], тоді як ⊕ інваріантний під правим складом з c $\mathsf{BP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{co}$$\oplus$$\mathsf{co}$ - [Визначення 6];
  5. Наведені вище оператори є монотонними (тобто для всіх операторів O вище):${\mathbf C_1 \subseteq \mathbf C_2} \implies {\mathcal O\cdot\mathbf C_1 \subseteq \mathcal O\cdot\mathbf C_2}$$\mathcal O$

Впродовж цього описується також декілька способів відношення цих операторів до традиційних класів складності, таких як , Z P P , A M , M A тощо.$\mathsf{\Sigma^p_2 P}$$\mathsf{ZPP}$$\mathsf{AM}$$\mathsf{MA}$

Як вступне посилання на поняття оператора складності (і демонстрації деяких застосувань ідеї), найкраще, що я знайшов поки що

Д. Козен, Теорія обчислень (Springer 2006)

що виходить із конспектів лекцій з обчислювальної складності та суміжних тем. На сторінці 187 («Додаткова лекція G: Теорема Тоди») він визначає операторів

• $\mathsf R$$\mathsf{RP}$
• $\mathsf{BP}$
• $\mathsf P$$\mathsf C$
• $\oplus$
• $\Sigma^{\mathrm{p}}$ (на наявність сертифікатів довжини поліномів, пор $\exists$ вище)
• $\Sigma^{\mathrm{log}}$ (за існування $O(\log n)$-документи сертифікації, пор $\exists$ вище)
• $\Pi^{\mathrm{p}}$ і $\Pi^{\mathrm{log}}$ (допоміжні оператори до $\Sigma^{\mathrm{p}}$ і $\Sigma^{\mathrm{log}}$: див. зауваження на $\forall$ вище)
• $\#$ (визначення класу підрахунку, див. зауваження вище)

і негласно визначає $\mathsf{co\text-}$ на сторінці 12 звичайним способом.

Поводження Козена з цими операторами достатньо, щоб вказати, як вони пов'язані з "звичайними" класами складності, і описати теорему Тоди, але не дуже обговорює їх взаємозв'язки і лише згадує їх на загальній складності 6 сторінок (в чому ж це книга, що охоплює набагато ширшу тему). Сподіваємось, хтось може надати кращу довідку, ніж ця.