Плановий клик в G (n, p), варіюючи p

У задачі про насаджену кліку потрібно відновити кліку, посажену у випадковому графіку Ердоса-Ренея . Це здебільшого було розглянуто для , і в цьому випадку, як відомо, можна вирішити поліномальний час, якщо і важко придумати для .$k$$G(n,p)$$p=\frac{1}{2}$$k > \sqrt{n}$$k< \sqrt{n}$

Моє запитання: що відомо / вірили про інші значення ? Зокрема, коли - константа в ? Чи є докази того, що для кожного такого значення існує деяка для якої проблема обчислювально обчислюється?$p$$p$$[0,1]$$p$$k=n^{\alpha}$

Посилання були б особливо корисними, оскільки мені не вдалося знайти жодної літератури, яка б розглядала проблему для значень, відмінних від .$p=\frac{1}{2}$

Якщо $p$ є постійним, то розмір максимальної кліки в $G(n,p)$ Модель майже скрізь є постійною кратністю $\log n$, з постійною пропорцією $\log (1/p)$. (Див. Bollobás, стор.283 та слідство 11.2.) Зміна$p$ тому не повинно впливати на твердість посадки клітини $\omega(\log n)$вершин, доки кліка занадто мала для існуючого алгоритмічного підходу до роботи. Тому я очікую цього з постійною$p \ne 1/2$ твердість Планованого Кліка повинна поводитись так само, як $p=1/2$ випадку, хоча можливо, що справа $p$ дуже близький до 0 або 1 може поводитися по-різному.

Зокрема, для $p\ne 1/2$ той самий поріг $\Omega(n^{\alpha})$ для $\alpha = 1/2$для розміру посадженої кліки застосовується, над якою проблема стає багаточленною. Значення$\alpha$ ось $1/2$ (а не якесь інше значення), оскільки тета-функція Ловаша $G(n,p)$ майже напевно між $0.5\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$ і $2\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$, в результаті Югаша. Алгоритм Фейге і Кройтгамера використовує тета функції Ловаша для пошуку та підтвердження найбільшої кліки, тому він покладається на цей поріг для посадженої кліки.

Звичайно, може бути інший алгоритм, який не використовує тета функції Ловаша, а також для значень $p$ Далеко від $1/2$ можна знайти посаджений клик з кажуть $n^{1/3}$вершин. Наскільки я можу сказати, це все ще відкрито.

Фейге і Крайтгамер також обговорюють, коли $p$ не є постійною, але залежить від $n$, або є близьким до 0 або близьким до 1. У цих випадках існують інші підходи до пошуку посаджених клік, і розмір порогу відрізняється.

• Бела Болобас, Випадкові графіки (2-е видання), Cambridge University Press, 2001.
• Ференц Югаш, Асимптотика поведінки Ловаша$\vartheta$функція для випадкових графіків , Combinatorica 2 (2) 153–155, 1982. doi: 10.1007 / BF02579314
• Уріель Фейге та Роберт Краутгамер, Пошук і засвідчення великої прихованої кліки в напіввипадковому графіку , Випадкові структури та алгоритми 16 (2) 195–208, 2000. doi: 10.1002 / (SICI) 1098-2418 (200003) 16: 2 <195 :: AID-RSA5> 3.0.CO; 2-A

посаджений клик для $p \neq \frac{1}{2}$це особливий випадок цієї проблеми та нові результати (нижчі межі), як зазначено на p2 і т. д. & вона включає відповідні посилання. (2015 р.)

Покажемо, що, припускаючи (детерміновану) експоненціальну гіпотезу часу, розрізняючи графік з індукованим $k$-лік і графік, в якому всі $k$-підписки мають максимум щільності $1 −\varepsilon$, вимагає $n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$ час.

• Жорсткість ETH для щільності-$k$-Субграф із ідеальною повнотою / Браверман, Ко, Рубінштейн, Вайнштейн

ось нова папір, яка має алгоритм довільного p ≠ ½ на основі алгоритму SVD. див. пункт 4 для аналізу прихованої (посадженої) кліки.

ПРОСТИЙ СВД-АЛГОРИТМ ДЛЯ ВІДНОВЛЕННЯ СХІДНИХ ПАРТІЙ Ван Ву

Анотація Пошук прихованого розділу у випадковому середовищі є загальною та важливою проблемою, яка містить у собі підпроблеми безліч відомих питань, таких як пошук прихованої кліки, пошук прихованого забарвлення, пошук прихованого поділу тощо. У цій роботі ми пропонуємо простий SVD алгоритм для цього, відповідаючи на запитання Макшері. Цей алгоритм дуже простий у реалізації та працює для розріджених графіків з оптимальною щільністю.