Обчислювальна складність пі


31

Дозволяє

L = { п : п т ч  двоичная цифра  П  є  1 }L = { n : the  nт год двійкова цифра  π становить  1 }

(де n вважається закодованим у двійковій). Тоді що можна сказати про обчислювальну складність L ? Очевидно , що L E X P . І якщо я не помиляюся, дивовижні алгоритми типу "BBP" для обчислення n t h біт π з використанням квазілінійного часу і ( log n ) O ( 1 ) пам'яті, не потребуючи обчислення попередніх бітів, вихід L Р С Р С Е .нL

Чи можемо ми зробити ще краще і помістити L (скажімо) в ієрархію підрахунку? З іншого боку, чи є якийсь результат твердості для L (навіть надзвичайно слабкий, як T C 0 -твердість)?

Цікава споріднена мова

L ' = { х , т : х  відбувається як підрядка в першому  т  розрядів  П }

(де знову т пишеться двійковою). Ми маємо

L N P L

а отже, L P S P A C E ; Мені буде дуже цікаво, якщо щось краще буде відомо.


9
(1) Оскільки π - найвідоміше трансцендентальне число, і про нього відомо багато. (2) Тому що я хотів конкретного прикладу. (Мені, звичайно, також були б дуже цікаві аналогічні питання для e , 2 , і т. Д., В якій мірі відповіді відрізняються.) (3) Тому що дляΩХайтіная вже знаю відповідь: а саме обчислитиn t h двійкову цифру не можна! (І яздогадуюсь,що можна дати зменшення, показуючи, що проблема пошуку в підпорядкуванні є непорушною і дляΩ... хто бачить, як?)
Скотт Ааронсон

6
@ScottAaronson, я думаю , ми можемо перебрати всі рядки х довжини т і запитати , якщо х , т в мові; це дає нам усі перші t біт Ω .
usul

3
У мене схожа мова "теорії чисел" у стилі: L = { n  другий нижній біт  n -го просте число дорівнює  1 } :-)
Marzio De Biasi

3
До речі, я перевірив Вайхрауха, в кінці розділу 7.2 вказується, що n-й біт тригонометричних функцій та їх обертів можна обчислити в часі t m ( n ) lg n, використовуючи підписане -значне представлення (що дозволяє - 1 в крім 0 і 1 у вигляді цифр) на компактних підмножинах їхнього домену. ( t m - складність множин двійкового цілого множення.)
Kaveh

Відповіді:


26

Гаразд, Джеймс Лі вказав мені на цю статтю Самира Датта та Рамешвара Пратапа за 2011 рік, яка доводить, що моя мова L (кодування цифр π ) знаходиться на четвертому рівні ієрархії підрахунку ( P H P P P P P P P ; спасибі SamiD нижче за те, що він вказав на зниклий документ P P у документі, який я просто повторив у своїй відповіді!). У статті також чітко обговорюється моє питання щодо нижчих меж складності обчислення двійкових цифр ірраціональних чисел, хоча це лише вдається довести дуже слабку нижню межу для обчислення двійкових цифр раціональногочисла. Це саме те, що я шукав.

Оновлення (3 квітня): Кумедним наслідком обчислення цифр π в ієрархії підрахунку є наступне. Припустимо, що π - це нормальне число (бінарне розширення якого швидко сходиться до "ефективно випадкового"), і припустимо, що P = P P (при моделюванні, що включає лише малий поліном накладних). Тоді було б можливо запрограмувати комп'ютер, щоб знайти, наприклад, перше виникнення повних творів Шекспіра у двійковому розширенні π . Якщо це звучить абсурдно для вас, то , можливо , воно повинно бути прийнято в якості додаткових доказів , що PP P . :-)


Гаразд, але там сказано, що я повинен зачекати 5 годин, перш ніж зробити це!
Скотт Ааронсон

7
До речі, згадана вище папір , по суті зводить задачу до B I т S L P і помилково цитує прив'язується в якості Р Н Р Р Р Р . Найвідоміший зв’язок на даний момент P H P P P P P P, як показано тут: eccc.hpi-web.de/report/2013/177
SamiD
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.