Наскільки потужними є точні «квантові» обчислення, якщо ви призупиняєте унітарність?

Коротке запитання.

Яка обчислювальна потужність "квантових" схем, якщо ми допускаємо не унітарні (але все ще неперевернені) ворота і вимагаємо, щоб вихід дав правильну відповідь із впевненістю?

Це питання є в певному сенсі про те, що відбувається з класом $\mathsf{EQP}$ коли ви дозволяєте схемам використовувати більше, ніж просто унітарні ворота. (Ми все ще змушені обмежуватись оберненими воротами над якщо ми хочемо мати чітко визначену модель обчислення.)$\mathbb C$

(Це запитання зазнало певних змін у світлі деякої плутанини з мого боку щодо відомих результатів щодо таких схем в унітарній справі.)

Про "точні" квантові обчислення

Я визначаю $\mathsf{EQP}$ заради цього питання класом задач, які можна точно вирішити за допомогою однорідного сімейства квантових схем, де коефіцієнти кожної унітарії обчислюються поліноміально обмеженими часом машинами Тюрінга (із вхідного рядка $1^n$ ) для кожного вхідного розміру $n$ , і те, що компонування схеми як спрямованої мережі також може бути вироблено в поліноміальний час. Під "точно" вирішеним, я маю на увазі, що вимірюючи вихідний біт, виходить $|0\rangle$ з упевненістю в випадках немає, і $|1\rangle$ з упевненістю в випадках YES.

Застереження:

• Навіть обмежуючись унітарними воротами, це поняття відрізняється від того, яке описано Бернштейном та Вазірані за допомогою квантових машин Тьюрінга. Вищеописане визначення дозволяє схемі сімейства ланцюгів { C n } в принципі мати нескінченний набір воріт - звичайно, кожна окрема ланцюг C n використовує лише кінцеве підмножина, - оскільки ворота фактично обчислюються з входів. (Квантова машина Тьюрінга може імітувати будь-який кінцевий набір воріт, який вам подобається, але може імітувати лише кінцеві набори воріт, оскільки він має лише обмежену кількість переходів.)$\mathsf{EQP}$$\{ C_n \}$$C_n$

• Ця модель обчислення реалізує будь-які проблеми в , оскільки унітарія може містити єдиний затвор, який жорстко кодує рішення будь-якої задачі в P (її коефіцієнти врешті визначаються багаторазовим обчисленням). Отже, специфічна часова або просторова складність проблем не обов'язково цікава для таких схем.$\mathsf P$$\mathsf P$

До цих застережень ми можемо додати зауваження, що практична реалізація квантових комп'ютерів все одно матиме шум. Ця модель обчислень цікава насамперед для теоретичних міркувань , так як один з питань складання унітарних перетворень , а не здійсненні обчислень, а також в якості точної версії . Зокрема, незважаючи на вищевказані застережень, ми маємо P ⊆ E Q P ⊆ B Q P .$\mathsf{BQP}$$\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP}$

Причина для визначення так , як я роблю це так , що DISCRETE-LOG можна покласти в E Q P . [  Mosca + Zalka 2003  ] існує алгоритм поліноміального часу для побудови унітарної схеми, яка точно вирішує екземпляри DISCRETE-LOG, створюючи точні версії QFT залежно від вхідного модуля. Я вважаю, що тоді ми можемо поставити DISCRETE-LOG в E Q P , як визначено вище, вбудувавши елементи побудови схеми в спосіб обчислення коефіцієнтів затвора. (Отже, результат DISCRETE-LOG ∈ E Q P по суті тримається за допомогою fiat, але спирається на побудову Mosca + Zalka.)$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\in \mathsf{EQP}$

Призупинення унітарності

Нехай - обчислювальний клас, який ми отримуємо, якщо ми зупинимо обмеження, що ворота є єдиними, і дозволимо їм переходити через необоротні перетворення. Чи можемо ми розмістити цей клас (або навіть охарактеризувати його) стосовно інших традиційних недетермінованих класів C ?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathbf C$

Одна з моїх причин запитати: якщо - клас задач, які ефективно вирішуються з обмеженою помилкою , за допомогою єдиних сімейств ланцюгів "не унітарного кванту" - де випадки ТАК дають результат | 1 ⟩ з ймовірністю щонайменше , 2/3, і ніяких випадків з ймовірністю не більше 1/3 (після нормалізації стану-вектор) - потім [Ааронсона 2005] показує , що Б В Р Про Л = Р Р . Тобто: призупинення унітарності в цьому випадку еквівалентно допущенню необмеженої помилки.$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}}$$|1\rangle$$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}} = \mathsf{PP}$

Чи отриманий подібний результат чи якийсь чіткий результат для ?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$

Коротка відповідь. Виявляється, призупинення вимоги унітарних перетворень і вимагає, щоб кожна операція була незворотною, породжує точні класи, що визначаються розривом. Класи специфічні про які йде мова і 'новий' підклас L P W P P , обидва з яких знаходяться між S P P і C = P . Ці класи мають досить технічні визначення, які коротко описані нижче; хоча ці визначення тепер, в принципі, можуть бути замінені такими в термінах не унітарних "квантоподібних" алгоритмів.$\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{SPP}$$\mathsf{C_=P}$

Клас підрахунку містить ГРОФІЧНИЙ ІЗОМОРФІЗМ. Він також містить весь клас U P , тому ми б не очікували, що точні унітарні квантові алгоритми будуть настільки ж потужними, як і не унітарні класи (як інакше ми могли б показати N P ⊆ B Q P ).$\mathsf{SPP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP \subseteq BQP}$

Більш довга відповідь.

• У своєму питанні я запропонував переосмислити щоб уникнути проблем, які вирішуються сімействами однорідних схем, які використовують ворота, які ефективно обчислюються, але не обов'язково виводяться з кінцевих наборів воріт. Я вже не настільки впевнений, що добре б переосмислити E Q P таким чином, хоча я вважаю, що такі схеми сімейства варто вивчити. Ми можемо назвати цей клас що - щось на зразок U п я т а г у р C замість.$\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

  Можна показати , що , який до недавнього часу був найвідомішим пов'язаний на E Q P . Клас L W P P більшою чи меншою мірою відповідає проблемам, для яких існує рандомізований алгоритм, де екземпляри НІ дають результат 1 з вірогідністю рівно 0,5, а випадки ТАК дають результат 1 з певною вірогідністю, яка може бути ефективно і точно обчислюється в раціональній формі, що перевищує (але, можливо, експоненціально близьке до 0,5). Технічне визначення L W $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C} \subseteq LWPP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{LWPP}$ представлений у відношенні недетермінованих машин Тьюрінга, але він більше не висвітлює.$\mathsf{LWPP}$

  Якщо ми визначимо бути оборотним затвор еквівалент U п я т а г у Р С , так що це безліччю проблем , які точно розв'язуються з допомогою оборотних сімейств схем з ефективно обчислюються коефіцієнтами затвора, то G L Р С = Ь Ш Р Р .$\mathsf{GLP}_{\mathbb C}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$$\mathsf{GLP_{\mathbb C} = LWPP}$

• Якщо обмежимось кінцевими наборами воріт, можна показати, що сімейства унітарних схем можуть бути імітовані в підмножині $\mathsf{LWPP}$ , яку можна назвати . (Використовуючи опис L W P P вище, це відповідає рандомізованим алгоритмам, де ймовірність отримання виходу 1 для випадків YES рівно m t ( x ) / 2 p ( | x | ) , для деяких поліномів p , деякі ціле $\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{LWPP}$$m^{t(x)} / 2^{p(|x|)}$$p$$m$, а також деякі ефективно обчислювані многочлени .)$t$

  Якщо ми визначимо бути оборотна затвором еквівалент E Q P , як це зазвичай визначається, можна показати , що Е В Р Про Л ⊆ L P W P P .$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}} \subseteq LPWPP}$

Виправлення щодо ДИСКРЕТНОГО ЛОГУ.

Наведені вище результати покладаються на стандартні методи представлення алгебраїчних коефіцієнтів таким чином, що не залежать від вхідних даних (але можуть залежати від розміру введення). В описі початкового запитання я стверджував, що [ Mosca + Zalka 2003 ] показує, що DISCRETE LOG точно вирішується набором воріт з ефективно обчислюваними коефіцієнтами. Істина видається більш складною. Якщо хтось дбає про точну розв’язаність, то я вважаю, що точне подання коефіцієнтів є важливим: але Моска і Залка не пропонують способу зробити це залежно від входу. Тож не очевидно, що DISCRETE LOG є насправді в або в новому класі U n i t a r y $\mathsf{EQP}$ .$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

Довідково.

• де Бодорап, Про точне підрахунок та квазіквантну складність , [ arXiv: 1509.07789 ].