Обрізка сильно з’єднаного диграфа

З огляду на сильно з’єднаний диграф G із зваженими ребрами, я хотів би визначити ребра, які, ймовірно, не є частиною жодного мінімально сильно пов'язаного підграфу (MSCS) G.

Одним із способів пошуку таких ребер є модифікований алгоритм Флойда-Варшалла. Використовуючи алгоритм Флойда-Варшалла, можна визначити, які краї ніколи не є найкращим варіантом для переходу від вершини i до j. Ці вузли не можуть бути частиною MSCS, тому що краще замінити їх двома або більше іншими ребрами.

Техніка обрізки Floyd-Warshall працює досить добре, коли ваги кромки значно змінюються, але дуже погано, коли ваги кромки схожі, але великі за величиною.

Чи знаєте ви якісь ефективні способи обрізки для великих, подібних крайових ваг? Чи є ця проблема еквівалентною більш поширеній проблемі, яку я не визнаю? Чи вивчали цей вид обрізки раніше в літературі?

Ми припускаємо, що ваги ребер є цілими додатними числами. З огляду на спрямований графік G з вагою ребер, назвіть край e надлишковим, якщо e не належить до жодного сильно пов’язаного підгалузка G з мінімальною вагою .

Ми стверджуємо, що, якщо P = NP, не існує алгоритму поліноміального часу, який завжди знаходить надлишковий край у заданому спрямованому графіку з вагою ребер, доки він є. Точніше:

Теорема . Враховуючи спрямований графік G з вагою ребер, NP-важко знайти надлишковий край у G або оголосити, що G не має надмірного краю.

Доказ . Ключове зауваження полягає в тому, що якщо G має унікальний сильно пов'язаний проміжний підграф, мінімально ваговий, то ви можете обчислити цей підграф, видаляючи зайві ребра по черзі. Таким чином, залишається показати, що унікальність не полегшує проблему з мінімальним вагою сильно пов'язаного між собою проміжного підграфа, але це доводиться наступною леммою. QED .

Лемма . Враховуючи спрямований графік G з обважнюванням краю, NP важко обчислити вагу мінімально вагового сильно з'єднаного проміжного підграфа G навіть за умови обіцянки, що G має унікальний сильно зв'язаний провідний підграф.

Доказ . Як відомо , проблема без обіцянки є важкою для NP (навіть для одиничної ваги) зменшенням від проблеми гамільтонівського ланцюга. Ми зводимо проблему без обіцянки до проблеми із обіцянкою.

Нехай G - спрямований графік з ребрами. Додайте ребра G з допомогою й ₀ , х ₁ , ..., х _{м -1} , де т є число ребер в G . Нехай w _i - задана вага краю e _i . Нехай нова вага w ′ _i = 2 ^м w _i +2 ⁱ . Тоді легко переконатись, що G з новими вагами має унікальний сильно зв'язаний провідний підграф. Також легко перевірити, що мінімальна вагаW сильно з'єднаного провідного підграфа в G з початковими вагами можна обчислити від мінімальної ваги W ′ в G з новими вагами як W = ⌊ W ′ / 2 ^м ⌋. QED .