Приклад, коли порушення умови суворої позитивності в індуктивних типах призводить до невідповідності

Більшість залежних типових систем мають суворі умови позитивності для індуктивних типів. Хтось знає приклад, коли порушення умови призводить до невідповідності в системі?

Насправді можна послабити сувору позитивність і залишатися послідовними. Наприклад, достатньо лише умови позитивності. Тобто ми можемо приймати визначення типу типу

$$T \triangleq \mu\alpha. (\alpha \to 2) \to 2$$

де змінні типу рекурсивного типу зустрічаються зліва від парної кількості стрілок і зберігають послідовність.

Однак теорії, що дозволяють подібний тип індуктивного типу, не мають теоретично заданих моделей - ти не можеш інтерпретувати типи як множини, а терміни як елементи множин. У цьому випадку ми говоримо про те, що ізоморфний своєму подвійному силовому набору (тобто T \ simeq \ mathcal {P} (\ mathcal {P} (T)) ), і це порушує теорему Кантора .$T$$T \simeq \mathcal{P}(\mathcal{P}(T))$

Оскільки теорії залежного типу часто використовуються для формалізації математики, їхні дизайнери зазвичай вагаються, додаючи принципи, несумісні з теоретично-множинною семантикою, навіть якщо вони узгоджуються.

EDIT: Я додаю цю редакцію у відповідь на запитання Андрія. Тип є послідовним, якщо додати його до (скажімо) Agda; проблем із цим взагалі немає. Проблема у нас є лише в тому випадку, якщо ми поєднуємо не строгу позитивність із виключеною серединою.$T$

Інтуїцію, чому це безпечно, найкраще бачити через об'єктив параметричності. У Системі F ми можемо показати, використовуючи параметричність, що для будь-якого визначеного функтора вводимо тип - це справді індуктивний тип.$F$$\mu F \triangleq \forall \alpha.\; (F\alpha \to \alpha) \to \alpha$

Тепер згадаймо, що визначений функтор - це оператор типу , разом з оператором задовольняють умовам функціональності (тобто і ).$F$$F : \ast \to \ast$

$$\mathrm{map} : \forall \alpha,\beta.\;(\alpha \to \beta) \to F\;\alpha \to F\;\beta$$ $\mathrm{map}\;id = id$$\mathrm{map}\;f\;\circ \mathrm{map}\;g = \mathrm{map}\;(f \circ g$

Тепер ми можемо визначити тип оператора для подвійного харчування

$$C = \lambda \alpha.\; (\alpha \to 2) \to 2$$

і оскільки виникає лише позитивно, ми можемо також визначити для нього оператора карти:$\alpha$

$$map_C = \lambda f : \alpha \to \beta, a' : (\alpha \to 2) \to 2, k : \beta \to 2.\; a' \;(\lambda a:\alpha.\; k\;(f\;a))$$

Отже, ми знаємо, що - законний індуктивний тип.$T = \mu C$