Підтвердження невирішеності не є зменшенням проблеми, що зупиняється

Звичайний спосіб доказувати нерозбірливість полягає у зменшенні від повторної задачі, такої як проблема зупинки, обгрунтованість логіки першого порядку, задоволеність рівнянь Діофантіна тощо.

Відомо, що існують рекурсивно численні, але невирішені проблеми, які не є завершеними, але це штучні конструкції (тобто множини, визначені саме для показу цього результату "щільності").

Як би вирішити доведення невідповідності без зменшення проблеми, пов'язаної з повторним завершенням? Діагоналізація?

Можна досить прямо показати, що складність Колмогорова не піддається обчисленню, див., Наприклад, Sipser, 3-е видання, проблема 6.23.

Поміркуйте, як я хотів би назвати проблему СУМОВОГО ВПРАВУ

В якості введення подано опис машини Тюрінга :$M$

• Якщо приймає на порожній стрічці, ви повинні прийняти.$M$

• Якщо відхиляє на порожній стрічці, вам доведеться відхилити.$M$

• Якщо працює назавжди на порожній стрічці, ви можете або прийняти, або відхилити, але в будь-якому випадку вам доведеться зупинити.$M$

(Звичайно, це не зовсім мова, але більше схожий на обчислювальний аналог проблеми обіцянки.)

Тепер, модифікуючи оригінальний доказ Тьюрінга, досить легко показати, що КОНСИСТИЧНІ ВПРАВКИ не можна визначити (я залишу це як вправу для вас).

З іншого боку, також можна показати, що немає жодного зменшення від проблеми зупинки до КОНСИСТЕНТНОГО ВПРАВЛЕННЯ --- тобто, що можна побудувати оракул який повертає правильну відповідь прийняття / відхилення для кожної зупинки TM, але відповіді якої для не-зупиночних ДЧЕЙ вбити все можливе скорочення від проблеми зупинки до . Таким чином, КОНСИСТЕНТНІ ВГОДИ дійсно слід розглядати як проміжні у складності між обчислювальною та проблемою зупинки.$A$$A$

Якщо те, що ви шукаєте, є доказом того, що це не є а) зменшенням від відомої повної проблеми, ні б) прямою діагоналізацією (яку ваші різні коментарі вказують, що ви є), то, наскільки я знаю, вам не пощастило. Усі докази, про які я знаю, не є скороченням, включаючи ті, що в інших відмінних відповідях, які тут дають Ааронсон та Кьос-Ганссен, - тривають шляхом прямої діагоналізації.

І всі ці діагоналізації по суті є одним і тим же доказом . Деякі з них є незначними варіантами доказів, які дають дещо сильніші / слабкіші твердження, але самі докази, як правило, є дуже незначними варіаціями. (І всі ці докази по суті є такими ж, як оригінальний доказ Кантора про кардинальності, той самий, як докази Годеля та Хайтіна незавершеності, які є все справедливими теоремами-версіями парадоксу Рассела ... Настільки, що в одному Точка, я запитав, чи можна формалізувати якимось зворотним математичним способом теорему, яка сказала, що існує фактично лише один такий доказ.)

Однак, можливо, варто зазначити, що існують докази інших тверджень - як правило, різного аромату - це діагоналізації, які дійсно, справді, імовірно відрізняються від діагоналізації, що використовується для доведення, наприклад, нерозв'язності проблеми зупинки.