Чи можна вирішити ізоморфізм графа з недетермінізмом, обмеженим квадратним коренем?

Обмеженість недетермінізм пов'язує функцію з класом мов , прийнятих ресурси обмежені детерміновані тьюрінгових машинами, щоб сформувати новий клас - . Цей клас складається з тих мов, які прийняті деякою недетермінованою машиною Тьюрінга дотримуючись тих же ресурсних меж, що і для визначення , але де дозволяється робити не більше недетермінованих рухів. (Я використовую позначення Голдсміта, Леві та Манденка замість оригіналу Кінтала та Фішера, і - розмір вводу.) $g(n)$ $C$ $g$ $C$ $M$ $C$ $M$ $g(n)$ $n$

Моє запитання:

Чи є константа такою, що ІЗОМОРФІЗМ GRAPH знаходиться в - ? $c\ge0$ $c\sqrt{n}$ $\mathsf{PTIME}$

( Редагувати: Джошуа Грохов вказував, що позитивна відповідь на це питання означатиме алгоритм для GI, який має кращі асимптотичні межі виконання, ніж відомі на даний момент. Тому я був би радий розслабити обмеження, дозволяючи недетерміновані рухи.) $o(\sqrt{n}\log n)$

Фон

Для кожної фіксованої постійної , - , оскільки недетерміновані ходи створюють максимум поліноміальне число конфігурацій для детермінаційного дослідження. Більше того, , і за допомогою прокладки можна демонструвати NP-повні мови в - для кожного . $c \ge 0$ $\mathsf{PTIME} = {c\log n}$ $\mathsf{PTIME}$ $c\log n$ $\mathsf{NP} = \cup_c n^c\text{-}\mathsf{PTIME}$ $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ $\varepsilon > 0$

Кінтала і Фішер зауважили, що вирішуючи, чи вхідний графік з вершинами має -clique -повний, але знаходиться в - . Щоб побачити це, відкиньте вершини, які мають максимум сусідів. Якщо залишилося занадто мало вершин, то відхиліть. В іншому випадку вершини, що залишилися, утворюють графік розміру . Тоді відгадайте a -підмножину вершин, використовуючи недетерміновані кроки та переконайтеся, що вони утворюють кліку в поліноміальний час. $V$ $(|V|/3)$ $\mathsf{NP}$ $O(\sqrt{n})$ $\mathsf{PTIME}$ $|V|/3 - 2$ $\Omega(|V|^2)$ $|V|/3$ $|V| = O(\sqrt{n})$

Деякі інші мови щільних графіків у також є у - . Це стосується будь-якої проблеми, коли підмножина вершин служить сертифікатом, а розмір вхідного графіка - . Прикладами є перспективні версії Індукованого Шляху або 3-Кольорового для випадку щільних графіків. Для інших проблем, схоже, потрібні більші сертифікати, наприклад, список вершин, що визначають гамільтонів ланцюг, здається, вимагає бітів. Мені незрозуміло, чи можна було б використати кількість недетермінізму, яка є занадто малою, щоб здогадатися про сертифікат для вирішення таких проблем. $L$ $\mathsf{NP}$ $O(\sqrt{n})$ $\mathsf{PTIME}$ $\Omega(|V|^2)$ $\Omega(|V| \log |V|)$

Зважаючи на те, що - може містити NP-повні мови, тоді цікаво запитати, куди в обмеженій ієрархії недетермінізму потрапляють потенційно простіші мови. Можна очікувати, що GI як мова, яка не здається NP-повною, буде в ієрархії ближче до - ніж до - . Однак очевидний сертифікат для GI вказує карту за допомогоюбіт, що є . $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ $\log n$ $\mathsf{P}$ $n$ $\mathsf{P}$ $|V|\log |V|$ $\omega(\sqrt{n})$

Ще один спосіб подумати над цим питанням: вказати карту між множинами вершин найкоротшим можливим сертифікатом для GI?

Редагувати: Деякі подальші (виправлені) зауваження випливають для коментарів Джошуа Грохова.

Якщо в сертифікаті використовуються біти і їх можна перевірити в поліноміальний час, то груба сила дає алгоритм для GI, що приймає час. Маючи сертифікат розміром , груба сила дає алгоритм, що займає час, а сертифікат розміром дає підхід грубої сили, забираючи час. Давня верхня межа Лукса становить час, який знаходиться між цими двома межами до постійних показників. $f(n) = \Omega(\log n)$ $poly(n)2^{O(f(n))} = 2^{O(f(n))}$ $O(\sqrt{n})$ $2^{O(\sqrt{n})}$ $O(\sqrt{n}\log n)$ $2^{O(\sqrt{n}\log n)}$ $2^{O(\sqrt{n\log n})}$

Ці міркування говорять про те, що може існувати альтернативний підхід до ГІ. Схоже, підхід Лукса покладений у своїй основі на виявлення підмножини генераторів асоційованої групи. Тому недетермінований апарат може вгадати підмножину групи. Ці підмножини можна потім перевірити вичерпно, щоб отримати детермінований алгоритм. Якщо список елементів можна вказати стисло, або тому, що асоційована група ніколи не є значно більшою за розмір графіка, або тому, що кількість необхідних генераторів завжди невелика, і перевірка кожного підмножини-кандидата не займе багато часу, тоді це може дати альтернативний підхід до ГІ.

Чандра М.Р. Кінтала та Патрік К. Фішер, вдосконалення недетермінізму в релятивізованих обчислених поліноміально-часовим обчисленням , журнал SIAM on Computing 9 (1), 46–53, 1980. doi: 10.1137 / 0209003
Джуді Голдсміт, Метью А. Леві, Мартін Мундхенк, обмежений недетермінізм , SIGACT News 27 (2), 20–29, 1996. doi: 10.1145 / 235767.235769
Ласло Бабай та Євген М. Лукс, Канонічне маркування графіків , STOC 1983, 171–183. doi: 10.1145 / 800061.808746

— Андраш Саламон
джерело

Отже, якщо графік подано як матрицю суміжності розміром , це означає, що я можу зробити лінійне число недетермінованих переміщень wrt до встановленого розміром вершин ?

n^{2}

$n^2$

n

$n$

— Джон Д.

@ user17410: Так, представлення не повинно мати великого значення, якщо розмір будь-якого екземпляра дорівнює . (Якщо вони необгрунтовано підкладені до розміру звичайно, достатньо обмеженого квадратного кореня.)

O (| V |^{2})

$O(|V|^2)$

Ω ((| V | \log | V |)^{2})

$\Omega((|V|\log|V|)^2)$

— András Salamon

Я думаю, ви можете запитати алгоритм краще, ніж найвідоміший ... Якщо я розумію, алгоритм дасть детермінований алгоритм. Поточний найвідоміший детермінований алгоритм потребує часу .

O (\sqrt{n}) - P T I M E

$O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

— Джошуа Грохов

@ AndrásSalamon: Груба сила =

NOT

n! p o l y (n) \approx 2^{O (n \log n)}

$n!poly(n) \approx 2^{O(n \log n)}$

... Крім того, я не бачу, чому сертифікат розмірупризводить до алгоритму жорсткої сили часуа не- чи можете ви детально розробити? Можливо, я щось пропускаю у визначенні позначення "PTIME"?

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2^{\sqrt{n} \log n}

$2^{\sqrt{n} \log n}$

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

— Джошуа Грохов

@ MohammadAl-Turkistany: Можливо, але мені доведеться трохи подумати над цим. В алгоритмі Бабая є моменти, коли, коли кольоровий градус знаходиться нижче полілога, він застосовує тест на обмежений градус ГІ, як і в попередньому найкращому алгоритмі, і не ясно, чи можна зробити тест ГІГ на полілог град в полілогічно обмеженому недетермінізм, чи можна продовжувати рекурсію Бабая далі, щоб отримати ступінь до, скажімо, постійного кольорового ступеня. Якщо і коли я це зрозумію, я оновлю свою відповідь - якщо у вас є думки з цього приводу, я із задоволенням спілкуюся, але це, мабуть, не правильне місце для роботи.

— Джошуа Грохов

По-перше, (як це було відредаговано в заяві запитання) позитивна відповідь на ваше запитання негайно поліпшить найсучасніший стан у найгірших випадках для графіка ізоморфізму. Для алгоритму виходить алгоритм детермінованості , але поточний найвідоміший для GI - лише $O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$ $2^{O(\sqrt{n})}$ $2^{O(\sqrt{n \log n})}$

По-друге, мені навіть не відразу зрозуміло, чи справді найкращий поточний алгоритм - це насправді алгоритм , хоча перша його частина явно є в якийсь сенс Алгоритм спочатку вгадує набір вершин розміру для індивідуалізації (хитрість Земляченка - див. Тут експозицію англійською мовою), що можна зробити, відгадуючи біти недетерміновано . Однак після відгадування цих питань та індивідуалізації (у детермінованому полі часі) застосовується найвідоміший тест ізоморфізму обмеженого ступеня, який потребує часу (теорема 9.1 цієї статті ), і застосовує його у випадку $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$ $\sqrt{n/\log n}$ $\sqrt{n \log n}$ $n^{O(d /\log d)}$ $d=O(\sqrt{n \log n})$ . Мені доведеться добре подумати над тим, чи можна останній алгоритм перетворити на алгоритм (здається цікавим питанням ...) $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$

— Джошуа Грохов
джерело

Чи є у вас посилання на версії, які не стоять за платною стіною? Я ніколи не бачив фактичного втілення трюку Земляченка чи тесту на обмежений ступінь ізоморфізму. Розбиття вершин за ступенем, як NAUTY, прискорює роботу, але ті, що мають той самий ступінь, вам все одно доведеться перевірити всі перестановки простих циклів на них AFIK.

— Чад Брюбекер

@Chad: Я, на жаль, не знаю версій цих статей, які не платять. Однак хитрість Земляченко досить просто здійснити на практиці і суттєво знижує ступінь. Для практичного втілення трюку Земляченка, я думаю, єдине питання - це компроміс між перерахуванням вершин для індивідуалізації (експонентних у розмірі множини) та будь-яких потенційних вигод, досягнутих шляхом ефективного зниження ступеня. Я не знаю, чи реально це реалізовано в НАУТІ чи інших практичних алгоритмах ізоморфізму.

— Джошуа Грохов

G

$G$

π

$\pi$

π (G)

$\pi(G)$

G

$G$

π

$\pi$

G

$G$

π (G)

$\pi(G)$

n

$n$

n!

$n!$