Гіпотеза Колмогорова про те, що має схеми лінійного розміру

У своїй книзі «Булева функціональна складність» Стасіс Юкна згадує (стор. 564), що Колмогоров вважав, що кожна мова в Р має схеми лінійної величини. Ніякої посилання не згадується, і я нічого не зміг знайти в Інтернеті. Хтось знає про це більше?

[Після пропозиції Каве, я ставлю свій (дещо розширений) коментар як відповідь]

Ця "здогадка" Колмогорова - лише чутка. Його ніде не публікували. У колишньому СРСР "видавнича" математика означала щось інше, ніж те, що вона робить сьогодні: поговорити на семінарі або сказати колегам на обід. Перерахунок паперів не був проблемою. (Власне, я також полюбив цей спосіб займатися математикою.) Я не можу виключити ймовірність того, що цю "здогадку" щойно сказав Левіну Колмогоров під час їхньої прогулянки на семінар до Московського університету. Тому не сприймайте це занадто серйозно як формальну гіпотезу; це лише чутка, що (не потрібно говорити) протягом багатьох років не спростовується. Але оскільки такий гігант, як Колмогоров, серйозно замислювався над цією проблемою і не виключав можливості "сили диявола", до гіпотези слід ставитися досить серйозно,

Ось (дуже-дуже груба) міркування мого розуміння цієї гіпотези. Наша (мабуть, неправильна) інтуїція щодо того, як працюють схеми, покладається на перегляд обчислення програмою як послідовний процес, який поступово збирає інформацію про вхідний рядок. Ця інтуїція запозичена з нашого уявлення про те, як працює машина Тьюрінга. Але кожен вхідний рядок визначає підсхема (засвідчуючи або ). І щоб схема була правильною, достатньо, що набори підсхем для і неперервні. Тобто схема - це компактне "локальне кодування" заданого розділу$x$$f(x)=1$$f(x)=0$$f^{-1}(1)$$f^{-1}(0)$$n$-куба. Довжина цього коду - складність Колмогорова заданої двійкової рядки довжиною . Алгоритм поліноміального часу , однак, робить більше: він дає одне «глобальне кодування» всієї нескінченної рядки для всіх . Тепер нескінченний рядок що дозволяє кодувати розмір повинен бути "простим", а його префікси "повинні" допускати ще більш компактні "локальні" кодування. Звичайно, залишається загадкою, чому Колмогоров вважав, що "локальних" кодувань навіть розміру для деякого може бути достатньо ...$f_n$$2^n$$f$$n$$f$$n^c$$cn$$c$

PS Вибачте, забув додати: Відмінне підтвердження моєї "тези" про те, що схеми слід розглядати як (статичні) коди, а не (динамічні) алгоритми, - відома теорема Девіда Баррінгтона, що весь клас може бути імітований поліномом -розмір програм розгалуження шириною 5. Погляд "збирання інформації" тут абсолютно невірний: навіть не ясно, як обчислити мажоритарну функцію, зберігаючи лише 5 біт інформації. Розумна ідея Девіда була просто закодувати$NC^1$поведінка даної формули у певних послідовностях 5-перестановок, і щоб показати, що прийняті та відхилені рядки отримають різні коди. Справа в тому, що програма розгалуження також не "обчислює" --- вона скоріше кодує вхідні рядки своїми підпрограмами: коли надходить вхід, невідповідні краї зникають, і у нас є код цього вводу.

Я ніде не знаю про цю тему, як Стасіс, але я почув інше виправдання цієї гіпотези, якою міг би поділитися.

Я чув, що гіпотеза базувалася на позитивному вирішенні тринадцятої проблеми Гільберта, яку спільно вирішили Колгоров та його студент Арнольд. Теорема (що набагато більш загальна, ніж заявлена ​​Гільбертом проблема) говорить:

Кожна безперервна функція кінцевої кількості змінних може бути виражена як кінцевий склад одно змінних функцій, а також скінченна кількість застосувань бінарного оператора .$+$

Мені кажуть, що, виходячи з деяких деталей реалізації доказу цієї теореми, це можна розглядати як безперервний аналог твердження, що .$\exists k \, \, \, P \subset SIZE(n^k)$

Вибачте, я не кваліфікований, щоб бути точнішим за це - якщо хтось ще чув цю ідею, можливо, вони могли б мені допомогти.