Нижні межі по гауссовій складності

Визначимо Gaussian складність як матриці , щоб мінімальне число елементарних операцій рядків і стовпців , необхідних для приведення матриці у верхній трикутної форми. Це величина між і (через гауссова елементація). Поняття має сенс у будь-якій галузі.0 n $n \times n$$0$$n^2$

Ця проблема, безумовно, здається дуже базовою, і її, мабуть, вивчили. Дивно, але я не знаю жодної згадки. Тож я буду задоволений будь-яким посиланням на нього. Але, звичайно, головне питання:

Чи відомі якісь нетривіальні явні нижні межі?

Під нетривіальним я маю на увазі надлінійний. Щоб було зрозуміло: над кінцевими полями аргумент підрахунку показує, що випадкова матриця має порядок складності n ^ 2 (подібна заява повинна бути вірною для нескінченних полів). Отже, ми шукаємо чітке сімейство матриць, наприклад, матриці Хадмара. Це те саме, що і з булевою схемою складності, коли ми знаємо, що випадкова функція має високу складність, але ми шукаємо явні функції з цією властивістю.

Це видається дуже важкою проблемою, пов'язаною з більш широко вивченою.

Припустимо, ми розглянемо квадратну обертову матрицю A і визначимо c (A) як мінімальну кількість операцій елементарного рядка, необхідних для зменшення A до матриці ідентичності. Цей показник складності більший, ніж пропонує Моріц, тому довести надлінійні межі для нього можна лише простіше.

Тепер рядкові операції оборотні . Звідси випливає, що c (A) можна рівнозначно визначити як мінімальну кількість операцій рядків, необхідних для отримання A, починаючи з матриці ідентичності.

Зауважте, що виготовлення A таким чином породжує арифметичну схему для обчислення карти, приймаючи x до Ax. Фанін кожного затвору дорівнює 2, а кількість невхідних воріт відповідає кількості рядкових операцій.

Немає явного зменшення зворотного напрямку (від ланцюгів до послідовностей рядків). Тим не менш, ми можемо охарактеризувати c (A) з точки зору складності арифметичної схеми Ax в моделі з обмеженим контуром: я стверджую, що c (A) дорівнює половині мінімальної кількості ребер в арифметичній схемі для A, fanin максимум 2 та ширина n, де ми не стягуємо плати за краї, що ведуть у ворота фаніну 1. (Я тут використовую звичайне поняття ширини ланцюга.) Це можна показати, використовуючи просту ідею, накреслену раніше.

Тепер ось зв’язок із добре вивченими проблемами: вже більше 30 років відома відкрита проблема виявляє явну лінійну карту Ax (над будь-яким кінцевим полем), яка вимагає суперлінійної кількості воріт у ланцюзі fanin-2. Класичним посиланням є Валіан, "Графічно-теоретичні аргументи низької складності", а також нещодавнє дослідження FTTCS від Lokam також є корисним.

Вивчаючи c (A), ми накладаємо додаткове обмеження ширини, але оскільки наше обмеження настільки слабке (ширина n), я не передбачаю, що проблема стане набагато легшою. Але ей - я хотів би, щоб мене підтвердили неправильно.

Є посилання, і вони досить старі. Я натрапив на них під час роботи над комбінаторними алгоритмами для множення булевої матриці.

$\Theta(n^2/log n)$$\log n$

Дж. В. Мун та Л. Мозер. Проблема скорочення матриці. Математика обчислень 20 (94): 328– 330, 1966.

Стаття повинна бути доступна на JSTOR.

Я майже впевнений, що нижня межа - це лише аргумент підрахунку, і явних матриць, що досягають нижньої межі, не було дано.