Приклади, де унікальність рішення полегшує пошук

Клас складності складається з тих N P -проблем, які можуть вирішуватися поліноміальною недетермінованою машиною Тюрінга, яка має щонайменше один прийнятий обчислювальний шлях. Тобто рішення, якщо воно є, є унікальним у цьому сенсі. Вважається , дуже малоймовірно , що всі U P -проблеми в P , так як по доблесну-Вазірані теореми це буде означати крах N P = R P .$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$

З іншого боку, жодна -проблема, як відомо, є N P -повною, що говорить про те, що унікальна вимога рішення все-таки якось полегшує їх.$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP}$

Я шукаю приклади, де припущення про унікальність призводить до більш швидкого алгоритму.

Наприклад, дивлячись на проблеми з графіком, чи можна знайти максимальну кліку в графіку швидше (хоча це можливо ще в експоненціальному часі), якщо ми знаємо, що граф має унікальну максимальну кліку? Як щодо унікальної -кольорості, унікального гамільтонового шляху, унікального мінімального домінуючого набору тощо?$k$

Загалом, ми можемо визначити версію унікального -рішення будь-якого -повний проблем, масштабування їх до U P . Чи відомо одному з них, що додавання припущення про унікальність призводить до більш швидкого алгоритму? (Дозволяючи, що вона все ще залишається експоненціальною.)$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$

3-SAT може бути однією з таких проблем. В даний час найкраща верхня межа для Unique 3-SAT експоненціально швидша, ніж для загального 3-SAT. (Прискорення експоненціальне, хоча зменшення показника крихітне.) Рекордсменом унікального випадку є цей документ Тімона Гертлі.

Алгоритм Гертлі ґрунтується на важливому алгоритмі PPSZ Патурі, Пудлака, Сакса та Зена для -SAT, який, на мою думку, все ще є найшвидшим для k ≥ 5 (див. Також цю статтю з енциклопедії). Первісний аналіз показав кращі межі для Unique k -SAT, ніж для загального k -SAT, коли k = 3 , 4 ; згодом, однак, Гертлі показав в іншому документі$k$$k \geq 5$$k$$k$$k = 3, 4$що ви можете отримати ті самі межі для (злегка налаштованого) алгоритму PPSZ, не припускаючи унікальності. Так, можливо, унікальність допомагає, і це однозначно може спростити аналіз деяких алгоритмів, але наше розуміння ролі унікальності для -SAT все ще зростає.$k$

Є дані, що Unique -SAT не є набагато легшим, ніж загальний k -SAT. Сильні Експонентні гіпотези часу (СЕТ) стверджують , що немає δ < 1 таким чином, що п -змінного до -SAT дозволимо в O * ( 2 δ п ) час для кожних постійних до ≥ 3 . У роботі Калабро, Імпальяццо, Кабанець і Патурі було показано, що якщо SETH дотримується, то те саме твердження справедливо і для Unique k -SAT. Також, якщо загальний $k$$k$$\delta < 1$$n$$k$$O^*(2^{\delta n})$$k \geq 3$$k$$k$-SAT вимагає експоненціального часу, тобто є деякий такий, що загальний k -SAT не може бути вирішений в часі O ∗ ( 2 ϵ n ) , тоді те саме має бути справедливим і для Unique 3-SAT. Найбільш загальне твердження див. У статті. $k \geq 3, \epsilon > 0$$k$$O^*(2^{\epsilon n})$

(Примітка: позначення пригнічує поліноміальні коефіцієнти в довжині введення.)$O^*$

Найкоротша розв'язка 2-вершинної задачі в непрямому графіку, яку нещодавно вирішили (ICALP14) А. Бьорклунд та Т. Хусфельт. Але детерміноване рішення - це на випадок існування унікального рішення. У випадку, коли існує більше одного рішення, вони показали, що проблема належить до RP . Як згадували автори статті, невідомо, чи проблема є в загальному сценарії P.

Поза теорією складності та аналізі алгоритмів, припущення про існування лише одного рішення лежить в основі деяких стандартних правил, що використовуються для виведення рішення в головоломок судоку. Ці правила, як правило, передбачають пошук шляхів, за якими частини головоломки можуть мати два чи більше рішення, які не взаємодіють із рештою головоломки. Цього в реальному рішенні не може відбутися, тож якщо буде знайдена закономірність, яка загрожує спричиненням цього, вона повинна бути зламана, що дозволяє вирішувачу виводити обмеження щодо того, як може виглядати фактичне рішення. Див. Http://www.brainbashers.com/sudokuuniquerectangles.asp для деяких прикладів правил відрахування, заснованих на унікальності.

Згадуючи ще один результат Бьорклунда, якщо вам гарантовано, що в графіку є максимум один цикл Гамільтонів, ви можете вирішити, чи графік є гамільтоніаном швидшим, ніж ви можете взагалі.$G$

Припущення про однозначність означає, що парність числа Хама. шляхи - це те саме, що вирішувати, якщо граф є гамільтоніанським.

$O(1.619^n)$$O^*(1.657^n)$$O(n^22^n)$