Чи існують неконструктивні докази існування "малих" машин Тьюрінга / НФА?

Прочитавши відповідне запитання про неконструктивні докази існування алгоритмів, мені було цікаво, чи існують способи показу існування "малих" (скажімо, державних) обчислювальних машин, фактично не будуючи його.

Формально:

припустимо, нам дається деяка мова і виправляється деяка обчислювальна модель (NFAs / turing machine / тощо). $L\subseteq \Sigma^*$

Чи існують якісь неконструктивні результати існування, що показують державну машину для , але без можливості знайти (у час) це? $n$ $L$ $poly(n,|\Sigma|)$

Наприклад, чи існує якась регулярна мова для якої ми можемо показати але ми не знаємо, як створити державний автомат для? $L$ $nsc(L)\leq n$ $n$

( - недетермінована складність стану , тобто кількість станів у мінімальній NFA, яка приймає ). $nsc(L)$ $L$ $L$

EDIT: після деякої дискусії з Марціо (спасибі!) Я думаю, що я можу краще сформулювати питання так:

Чи є мова та обчислювальна модель, для якої належить: $L$

Ми знаємо, як побудувати машину для обчислення яка має станів. $L$ $m$

Ми маємо доказ того, що -стабільна машина для існує (де ), але ми її взагалі не можемо знайти, або для її обчислення знадобиться експоненціальний час. $n$ $L$ $n << m$

cc.complexity-theory automata-theory turing-machines

— РБ
джерело

що таке nsc (L)? питання, схоже, пов'язане зі складністю стиснення / Колмогорова, яка просить знайти невеликі (ест) машини, які б представляли струни ...

— vzn

nsc (L) - недетермінована складність стану L (кількість станів у найменшій NFA, яка приймає L).

— РБ

інша ідея / кут, можливо, є якісь "малі" класи схем (інша модель обчислень), для яких доведено, що вони можуть обчислити певні функції, але фактична конструкція складна? Нещодавно SJ згадав Barrington thm, що шириною 5 програм розгалуження можна обчислити більшість ...?

— vzn

@vzn Докази теореми Баррінгтона дають просту процедуру перетворення формул у програми розгалуження.

— Сашо Ніколов

@RB: добре, ви можете знайти більш цікаві приклади з обмеженою ресурсом складності Колмогорова (зокрема, обмеженої часом складності). Наприклад, задавши рядок , яка найменша машина, яка працює за часом яка друкує ? У цьому випадку ми можемо легко створити TM, який друкує , але для пошуку найменшого потрібно сканувати всі TM(обмежений час робить його обчислювальним). Коли у мене буде більше часу, я розгорну свою відповідь.

x

$x$

O (2^{n})

$O(2^n)$

x

$x$

x

$x$

| M | < | x |

$|M|<|x|$

— Marzio De Biasi

Лише розширений коментар із тривіальним прикладом; Ви можете вибрати одноелементну мову:

L_{k} = {M ∣ σ (M) = Σ (k)}

$L_k = \{ M \mid \sigma(M) = \Sigma(k) \}$

тобто містить перший (у лексикографічному порядку) зайнятий бобр Тюрінг розміром (машина Тюрінга розміром $L_k$ $k$ $k$ яка набирає найбільшу кількість 1с на своїй стрічці після зупинки).

$k$ $L_k$ $\leq 2*k(\log k+2)$

— Марціо Де Біасі
джерело

Хоча я погоджуюся, що це працює, я шукав існування, що демонструє методи для явно заданої мови L.

— RB

Що таке "явно задана мова"?

— Jeffε

$\mathtt{MOD_p} = \{a^{ip} \mid i \geq 0\}$ $p$ $O(\log p)$

$O(\log^{2+o(1)}p)$ $\mathtt{MOD_p}$

REF: Розділ 4.2 (Ambainis і Yakaryilmaz, 2015) .

— Abuzer Yakaryilmaz
джерело

Іншим рішенням є використання леми Хігмена :

Мова, закрита під підсловами, є регулярною.

$u$ $v$ $u$ $v$

Отже, візьміть будь-яку мову L, її закриття підслову є регулярним, але зовсім не може бути конструктивним, оскільки L довільне.

— CP
джерело