Простий доказ Ω (n lg n), найгірший зв'язаний для унікальності / виразності?

Існує декілька доказів нижньої межі логістики для проблеми унікальності / відмінності елемента (засновані на алгебраїчних обчислювальних деревах або змагальних аргументах), але я шукаю такий, який досить простий для використання в першому курсі в аналізі та дизайні алгоритмів. Той самий "рівень складності", що і нижня межа для сортування, буде добре. Також будь-який підхід (наприклад, комбінаторний або заснований на теорії інформації) був би нормальним. Будь-які пропозиції?

cc.complexity-theory lower-bounds proofs

— Magnus Lie Hetland
джерело

Яку модель обчислення ви маєте на увазі? Якщо елементи невеликі цілі, можна зробити

шляхом сортування. Якщо елементи можна порівняти лише за нерівності, здається, що нижня межа

. Чи правильно випливати із відповіді, яку ви шукаєте, чи правильно видно, що елементи впорядковані лінійно і їх можна порівняти для <, =,>, але ніяких інших операцій?

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Warren Schudy

Питання Уоррена в його коментарі - хороший дзвінок. У зв'язку з цим коментар Девіда Еппштейна щодо іншого питання є проникливим, де він підкреслює важливість конкретизації обчислювальної моделі, коли ми говоримо про подібні нижчі межі. До речі, я не впевнений, чи є сенс перераховувати «алгебраїчні дерева обчислень» (модель обчислення) та «змагальні аргументи» (метод доказування) поряд.

— Tsuyoshi Ito

Дуже хороші бали. У моїй заявці тут пояснюється доказ твердості шляхом зменшення - наприклад, зменшення від унікальності до сортування (та кілька інших проблем). Тому я припускаю ті самі основні операції, що і під час роботи зі сортуванням порівняння (щоб зменшення спрацювало). (Або, мабуть, все, що еквівалентно ОЗУ з реальними цифрами.)

— Magnus Lie Hetland

Відповіді:

Будь-який сертифікат (доказ) відмінності, який використовує лише <, = і>, повинен включати порівняння між кожною парою сусідніх елементів у відсортованому порядку. Тому будь-який сертифікат відмінності дає достатньо інформації для сортування, а отже, стандартна інформаційно-теоретична нижня межа для сортування застосовується також до будь-якого детермінованого алгоритму відмінності.

— Уоррен Шуді
джерело

Цей аргумент працює для порівняння дерев, але не (безпосередньо) для більш загальних моделей дерева рішень.

— Jeffε

JeffE: Я згоден. Я сумніваюся, що для цілей Магнуса є досить простий доказ, який працює в більш загальній моделі.

— Воррен Шуді

Правильно. Дерева порівняння чудово підходять для мого застосування - тому я думаю, що це досить близько до того, що я шукаю. У моїй заяві було пояснення ідеї доказів твердості, включаючи зведення до сортування, тому факт, що тут використовується сортувальний доказ, як коротке замикання. Напевно, я мав би сказати це прямо :-)

— Магнус Літ Гетьленд

Я не впевнений, чи правильно я розумію питання, але доказ Добкіна та Ліптона [DL79] про те, що проблема унікальності на n чисел вимагає порівняння Ω ( n log n ) у лінійній моделі дерева рішень, набагато простіше, ніж сильніший результат у модель алгебраїчного дерева обчислень Бен-Ор [Бен83] (не дивно).

Список літератури

[Ben83] Майкл Бен-Ор. Нижні межі для алгебраїчних дерев обчислень. У працях п’ятнадцятого щорічного симпозіуму АСМ з теорії обчислень (STOC 1983) , стор. 80–86, квітень 1983 р. Http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[DL79] Девід П. Добкін та Річард Дж. Ліптон. Про складність обчислень при різних наборах примітивів. Журнал комп'ютерних та системних наук , 18 (1): 86–91, лютий 1979. http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

— Цуйосі Іто
джерело

Якщо коротко: розглянемо простір R ^ n усіх можливих входів. Набір позитивних входів має n! підключені компоненти, по одному для кожної перестановки. З іншого боку, підмножина входів, яка може дійти до будь-якого аркуша в лінійному дереві рішень, опукла і тому пов'язана. Таким чином, будь-яке дерево лінійних рішень, яке визначає унікальність, має принаймні n! листя.

— Jeffε

Більш тонкий аргумент потрібен для особливого випадку цілих входів. Див. Lubiw and Rács, "Нижня межа для проблеми розрізнення цілих елементів", Інформація та обчислення 1991; або Яо, "Нижні межі для алгебраїчних обчислень дерев з цілими входами", FOCS 1989.

— Jeffε

@JeffE: Ваше коротке пояснення чудове. Також дякую за покажчик на цікаві результати. Мені ніколи не прийшло в голову, що нижня межа Бен-Ор не застосовується негайно до випадку, коли вхід обмежений цілими числами!

— Цуйосі Іто

Джефф: на це слід відповісти!

— Суреш Венкат

Завдяки і Tsuyoshi Ito, і JeffE. Я бачив R ^ n просторовий доказ раніше (в налаштуваннях, використовуючи змагальні аргументи). Я думав, що це трохи надто складно для моєї цільової аудиторії, коли я вперше прочитав це, але, мабуть, можливо, це не так, насправді. Спасибі. (Я також бачив статтю про цілий випадок - я думаю, я не буду вступати в це на своїй лекції ... :)

— Магнус Лі Хетланд