Розглянемо наступну гру з картками (відома в Італії як "Cavacamicia", яку можна перекласти як "стриптиз"):

Два гравці навмання розбивають на дві колоди стандартну колоду карт. Кожен гравець отримує одну колоду.

Гравці по черзі кладуть у стек наступну карту зі своєї колоди.

Якщо гравець (A) виставляє спеціальну карту, тобто I, II або III, інший гравець (B) повинен послідовно відкладати відповідну кількість карт.

• Якщо при цьому B відкладає спеціальну карту, дія повертається назад тощо; в іншому випадку, якщо B відкладає відповідну кількість карт, але немає спеціальної картки, A збирає всі карти, які були викладені, і додає їх до своєї колоди. Потім відновлює гру, відклавши карту.

Перший гравець, який закінчився з картками, програє гру.

Примітка: Результат гри залежить виключно від початкового розділу колоди. (Що може зробити цю гру трохи безглуздою ;-)

Питання: Чи завжди ця гра закінчується? Що робити, якщо ми узагальнимо цю гру та надамо кожному гравцю дві послідовності карт?

Щодо жебрака-Мій-сусід

Полхус (1, с.164) писав у 1999 році:

$C$${D_{2}}^{'}(C)$

Але Конвей та ін. (2, с.892) писав у 2006 році:

Стрип-джек-голий, або жебрак-мій-сусід ** 1

Ще одна проблема, на вирішення якої пішло майже 47 років, стосується цієї старої дитячої гри. Кожен з двох гравців починається приблизно з половини карт (тримаються обличчям вниз), які вони по черзі перекидаються на «стек» обличчям вгору, поки один із них (який зараз є «командиром») вперше займається одна з «командних карток» (Джек, Королева, Кінг або Туз).

Після того, як один з них розібрався, інший гравець (тепер «відповідач») постійно перевертає карти до ВСІХ. ** 2 з'являється нова командна картка (коли гравці змінюють ролі ** 3) або відповідно 1, 2, 3 або 4 некомандуючі карти були перевернуті. В останньому випадку командир перевертає штабель і приєднується до нього донизу руки. Потім відповідач починає формування нового стека, перевертаючи свою наступну карту, і гра продовжується, як і раніше.

Гравець, який придбає всі карти, є переможцем, а в реальних іграх здається, що хтось завжди перемагає. Цікавим математичним запитанням, поставленим одним з нас багато років тому, було «чи справді правда, що гра завжди закінчується?» Марк Полхус нещодавно знайшов відповідь «ні!». Приблизно 1 на 150 000 ігор (зіграних зі звичайними 52 картками) триває назавжди.

Ми досить впевнені, що жодна людина не грав у цю гру подібну кількість разів, тому шанс (при випадковому перетасуванні) пережити невпинну гру в ігровій роботі справді повинен бути дуже малим.

Однак настільки ж точно, що загальна кількість разів, у які цю гру грали ** 4-х дітей у світі, повинна бути значно більшою, ніж 150 000, тому багато з них будуть теоретично не закінчуються. Однак ми уявляємо, що на практиці більшість з них насправді припиняються, тому що хтось допустив помилку.

На жаль, мені не вдалося знайти в (2) жодної згадки про відкриття Павлуса ... Я хотів би побачити послідовність карт, що дають непереривну гру, щоб сказати, що проблема вирішена.

У 2013 році Лакштанов та Алексенко (3) написали:

У карткових іграх типу жебрак-мій-сусід ми доводимо скінченність математичного очікування тривалості гри за умови, що гравець, який зіграє першу карту, вибирається випадковим чином, а картки в купі переміщуються перед розміщенням настил. Результат справедливий і для модифікацій загальних типів правил гри. Іншими словами, ми показуємо, що графік ланцюга Маркова для гри «Жебрак-мій-сусід» поглинає; тобто з будь-якої вершини є принаймні один шлях, що веде до кінця гри.

але їхні правила не ті, яких я дотримувався, коли я грав у гру, коли я був дитиною ;-)

Наскільки мені відомо, найдовшу гру Beggar-my-Neighbor у 2014 році знайшов Вільям Руклідж із 7960 карт :

1: -J------Q------AAA-----QQ-
2: K----JA-----------KQ-K-JJK

Щодо Кавакамісії

Зазвичай я грав у колоду на 40 карт, імітація з половиною колоди (всього 20 карт) дає 16 ігор, що не закінчуються, в цілому 3.448.400 ігор.

Бібліографія

(1) ПАУЛГУС, Марк М. жебрак, мій сусід. Американський математичний щомісячник , 1999, 162-165. http://www.jstor.org/stable/2589054

(2) BERLEKAMP, Elwyn R .; CONWAY, Джон Н .; Хлопець, Річард К. Виграючи шляхи для своїх математичних п'єс, Том 4. AMC, 2003, 10: 12. http://www.maa.org/publications/maa-reviews/winning-ways-for-your-mathematical-plays -об'єм-4

(3) ЛАКШТАНОВ, Євгеній Леонідович; АЛЕКСЕНКО, Алена Ільїчна. Кінцевість у картковій грі «жебрак-мій-сусід». Проблеми передачі інформації , 2013, 49.2: 163-166. http://dx.doi.org/10.1134/S0032946013020051