Чи означає, що теорема Каннана означає, що NEXPTIME ^ NP ⊄ P / poly?

Я читав документ Бурмана та Гомера «Суперполіноміальні схеми, майже розріджені оракули та експоненціальна ієрархія» .

Внизу сторінки 2 вони зазначають, що з результатів Каннана випливає, що $NEXPTIME^{NP}$ не має схем розмірів поліномів. Я знаю, що в експоненціальній часовій ієрархії $NEXPTIME^{NP}$ є просто $\Sigma_2EXP$ , і я також знаю, що результат Каннана полягає в тому, що $\forall c\mbox{ }\exists L\in\Sigma_2P$ такий, що . Звичайно, теорема Каннана НЕ говорить $L \not\in Size(n^c)$ $\Sigma_2P \not\subset P/poly$ (для того, щоб це було так, нам потрібно було б показати, що $\exists L\in\Sigma_2P$ такий, що $\forall c$ , $L \not\in Size(n^c)$ . Однак , Я не бачу, як результат означає, що $NEXPTIME^{NP} \not\subset P/poly$ ?

— Жил "ТАК - перестань бути злим"
джерело

Можливо, це більше підходить для cstheory.se.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Добре, дякую. Якщо модератор вважає, що це більше підходить для cstheory.se, тоді сміливо пересувайте його.

Це також є набором проблем cs354 ...: - / ... Я прямо доручив студентам не просити Інтернет, тому "Лотарингія" краще сподіваюся, що вони не беруть мого заняття.

— Райан Вільямс

@Sasho, я думаю, що було б добре зробити це, принаймні, до закінчення строку призначення.

— Kaveh

@Turbo Я думаю, що я міг би так само, сподіваюся, це не на чужій проблемі, встановленій на даний момент.

— Сашо Ніколов

Ця версія відповіді містить відгуки Еміля Йерабека.

Наскільки я бачу, головний поворот полягає в тому, що мова є в складності експоненціальної схеми. Зокрема, зафіксуйте двійкове кодування булевих схем та визначте як мову, визначену $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L$

$L_n$ не визначається жодною схемою розміром , і $2^{n/2}$

будь-яка мова яка передує лексикографічно, визначається якоюсь схемою розміром не більше , $L'_n \subseteq \{0,1\}^n$ $L_n$ $C$ $2^{n/2}$

де позначення означає зріз . $L_n$ $L_n = L \cap \{0,1\}^n$

Щоб зробити це в експоненціальний час з , ви можете використовувати двійковий пошук по підмножинам (вважайте їх як бітових цілих чисел), щоб знайти перший такий набір, який має складність ланцюга . Ви просто зберігаєте поточну здогадку і використовуєте Oracle, щоб перевірити, чи існує складності ланцюга принаймні . Так як це дає машину в , яка записує весь зріз , очевидно , ми можемо також прийняти рішення про членство в , і, отже, в . $\Sigma_2^\mathsf{P}$ $\{0,1\}^n$ $2^n$ $> 2^{n/2}$ $L_n$ $L'_n \prec_{\text{lex}} L_n$ $2^{n/2}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L_n$ $L_n$ $L$

Це дуже багато, як у аргументі Каннана, але масштабується та упорядковується для використання експоненціального часу. Тоді ви повинні мати змогу використовувати розширену версію теореми Карпа-Ліптона, щоб показати, що якщо , то , і ви можете провести аналіз справи в доказ Каннана. $\mathsf{NEXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2} \subseteq \mathsf{NEXP}^{\mathsf{NP}}$

— Сашо Ніколов
джерело

AFAICS ваш опис надає безпосередньо мову, а не .

{E X P}^{Σ_{2}^{P}}

$\mathrm{EXP}^{\Sigma^P_2}$

{N E X P}^{Σ_{3}^{P}}

$\mathrm{NEXP}^{\Sigma^P_3}$

— Еміль Єржабек

@ EmilJeřábek Мій мозок ніколи не міг обробляти оракул машини. Я кількісний коефіцієнт глибина чотири: знаходиться в якщо існує схема розміру така, що і [для всіх схем розміром існує слово для якого ] і [для всіх що передують у lex порядку існує схема розміром не більше st для всіх

w \in {0, 1}^{n}

$w \in \{0,1\}^n$

L

$L$

C^{*}

$C^*$

\leq 2^{n}

$\le 2^n$

C^{*} (w) = 1

$C^*(w) = 1$

C

$C$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C (w^{'}) \neq C (w)

$C(w') \neq C(w)$

C^{'}

$C'$

C^{*}

$C^*$

C^{″}

$C''$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C^{'} (w^{'}) = C^{″} (w^{'})

$C'(w') = C''(w')$ ]. Це здається четвертим рівнем ієрархії експоненцій. Що це в нотації oracle?

— Сашо Ніколов

По-перше, "існує слово ...", і подібний універсальний кількісний показник наприкінці не враховується, оскільки вони мають лінійний розмір, отже, їх можна обчислити детерміновано за експоненціальний час. По-друге, самий зовнішній кількісний коефіцієнт може бути модельований детерміновано за експоненціальний час за допомогою двійкового пошуку.

— Еміль Єржабек

Тобто, лексикографічно перша булева функція на входах, що не мають схем розміром може бути знайдена шляхом експоненціального бінарного пошуку з оракулом для присудка "існує функція лексикографічно передує це не можна обчислити схемою розміром ".

f

$f$

n

$n$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

f^{'}

$f'$

f

$f$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— Еміль Єржабек

@SashoNikolov Отже, він все ще працює з . Однак ми не можемо використовувати, якщо застосувати Karp-Lipton в cstheory.stackexchange.com/questions/39837/… . Отже, у нас є і . Це не працює для .

E X P^{Σ_{2}^{P}} \subseteq N E X P^{Σ_{3}^{P}}

$EXP^{\Sigma_2^P}\subseteq NEXP^{\Sigma_3^P}$

N E X P \subseteq i . o . P / p o l y

$NEXP\subseteq i.o.P/poly$

E X P^{P P} ⊈ i . o . P / p o l y

$EXP^{PP}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{Σ_{3}^{P}} ⊈ i . o . P / p o l y

$NEXP^{\Sigma_3^P}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{N P}

$NEXP^{NP}$

— Т ....