Чи означає

11

Позначимо через мінімальний градусний ступінь , а через мінімальний градусний. $\delta^+(G)$ $G$ $\delta^-(G)$

У спорідненому запитанні я згадав про розширення теореми Дірака про гамільтонівські цикли про Гуїла-Гурі , що дозволяє припустити, що якщо тоді G - гамільтонів. $\delta^+(G),\delta^-(G) \geq \frac{n}{2}$

У своєму коментарі Саїд прокоментував інше розширення, яке здається сильнішим, за винятком того, що це вимагає, щоб графік був міцно пов'язаний.

Сильна зв'язок виявилася надмірною для теореми Гуіла-Гурі приблизно через 30 років після її публікації, і мені було цікаво, чи те ж саме стосується розширення, яке представлено Saeed.

Отже, питання:

Хто довів (чи може хтось знайти посилання), що означає, що є гамільтоніаном, враховуючи, що сильно пов'язаний? $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$ $G$ $G$

Чи є тут і надмірна взаємозв'язок, тобто чи означає сильну зв’язність? $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$

(Зауважте, що хоча граф, очевидно, повинен бути сильно пов'язаний, щоб він був гамільтоніаном, я запитую, чи мається на увазі ця умова на ступінь).

reference-request graph-theory

— РБ
джерело

8

Варіант, який я запропонував, насправді був дещо іншим варіантом теореми Вудала . Можливо, я бачив це у книзі Банг-Дженсена та Гутіна . На той момент, коли я писав коментар, я не перевіряв книгу на правильність. Тож, щоб бути впевненим, я написав графік, повинен бути сильно пов'язаний. До речі, це твердження справедливо, оскільки його можна трактувати як окремий випадок теореми Вудала. Крім того, не потрібна сильна вимога підключення.

Це теорема 6.4.6 з книги Банга-Дженсена та Гутіна :

Нехай - графік порядку . Якщо для всіх пар вершин і таких, що немає дуги від до , то - гамільтоніан. $D$ $n\ge 2$ $\delta^+(x)+\delta^-(y) \ge n$ $x$ $y$ $x$ $y$ $D$

Це означає, що відповідь на другу частину вашого питання також так.

$n$ $n$ $k<n$ $a,b,c$ $e,d$ $k_2$ $e$ $d$ $d$ $b$ $b$ $e$ $e$ $c$ $e,d$ $d$ $b$ $2$ $4=5-1 = n-1$ $n$

введіть тут опис зображення

P.S1: Звичайно, вищезгадана теорема справедлива для простих диграфів. тобто діаграми без петлі або паралельних ребер.

P.S2: Зараз у мене немає хорошого інструменту Tex. Тож імідж не гарний.

— Саед
джерело

3

Коли є лише два автори, краще позначати їх як "Перший і Другий", а не "Перший та ін.", Щоб вони отримували заслугу, яку вони заслуговують. Та ін. ("та інші") слід використовувати лише тоді, коли повний список авторів достатньо довгий, що відтворення його було б незручним.

— Девід Річербі

7

Відповідь на ваше друге запитання є ствердною:

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \ge n$ $G$

$G$ $\delta^+(G)+\delta^-(G) < n$ $G$ $S$ $S$ $T$ $T$ $S$ $S$ $\delta^+(G) \le \delta^+(S) \le |S|-1$ $\delta^-(G) \le |T|-1$

δ^{+} (G) + δ^{-} (G) \leq | S | + | T | - 2 \leq n - 2 .

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \le |S|+|T|-2 \le n-2 \ .$

— mobius пельмені
джерело

1

\geq n - 1

$\ge n-1$

@GeoffreyIrving Так, це здається.

— mobius dumpling

Це змушує мене замислитися, чи достатньо n-1 для гамільтонічності.

— RB

@RB, Ні, це недостатньо.

— Саїд

1

δ^{-} + δ^{+} = n - 1

$\delta^-+\delta^+ = n-1$

4

Це розширення відповіді @Mobius, щоб показати сильнішу заяву:

$\delta^+ + \delta^- \geq n-1$ $\forall u,v\in V, d(u,v)\leq 2$

Доказ:

$(u,v)\in E$

$A=\{x\in V: (u,x)\in E\}, B=\{y\in V: (y,v)\in E\}$

$(u,v)\not \in E$ $A \cup B \subseteq V\setminus \{u,v\}$ $|A\cup B|\leq n-2$

n - 1 \leq δ^{+} + δ^{-} \leq | A | + | B | = | A \cup B | + | A \cap B | \leq n - 2 + | A \cap B |

$n-1 \leq \delta^+ + \delta^- \leq |A|+|B| = |A\cup B| + |A\cap B| \leq n-2 + |A\cap B|$

$|A\cap B| \geq 1$ $\exists w\in V:(u,w),(w,v)\in E$ $d(u,v)=2$

$\blacksquare$

— РБ
джерело