Враховуючи , знайдіть підпункт з великим обсягом і великим середнім значенням

Ось проблема з подібним ароматом до вивчення хунтів:

Вхід: Функція , представлена оракул членства, тобто оракул, який дав , повертає . $f: \{0,1\}^n \rightarrow \{-1,1\}$ $x$ $f(x)$

Мета: Знайти подкуба з з об'ємом така , що . Ми припускаємо, що такий субкуб існує. $S$ $\{0,1\}^n$ $|S|=2^{n-k}$ $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.1$

Легко отримати алгоритм, який працює за часом і повертає правильну відповідь з ймовірністю , спробувавши всі способи вибору підпункту та вибірки середнього в кожному з них. $n^{O(k)}$ $\ge 0.99$ $(2n)^k$

Мені цікаво знайти алгоритм, який працює в часі . Як альтернатива, нижня межа була б чудовою. Проблема має подібний смак до вивчення хунтів, але я не бачу фактичного зв’язку між їхніми обчислювальними труднощами. $poly(n,2^k)$

Оновлення: @ Томас нижче доводить, що складність вибірки цієї проблеми є . Цікавим питанням є все-таки обчислювальна складність проблеми. $poly(2^k,\log n)$

Редагувати: ви можете припустити, що для простоти існує підпункт з (зверніть увагу на розрив: ми шукаємо підпункт із середнім значенням .) Я впевнений, що будь-яке рішення проблеми із розривом також вирішить проблему без розриву. $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.2$ $\ge 0.1$

— mobius пельмені
джерело

Тут краще обмежувати складність вибірки. (Хоча обчислювальна складність все ще .) $n^k$

Теорема. Припустимо, існує підпункт розміром такий, що . За допомогою зразків ми можемо з високою ймовірністю ідентифікувати підкуб розміром таким, що . $S$ $2^{n-k}$ $|\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]| \geq 0.12$ $O(2^k \cdot k \cdot \log n)$ $S'$ $2^{n-k}$ $|\mathbb{E}_{x \in S'}[f(x)]| \geq 0.1$

Зверніть увагу на невеликі втрати параметрів ( є оптимальним проти гарантії ). $0.12$ $0.1$

Доказ. Pick точок рівномірно в довільному порядку і запиту при кожному . $m$ $P \subset \{0,1\}^n$ $f$ $x \in P$

Зафіксуйте підпункт розміром . Маємо . Шнуровим зв’язком, Також $S$ $2^{n-k}$ $\mathbb{E}[|S \cap P|]=m 2^{-k}$

P [| S \cap P | < m 2^{- k - 1}] \leq 2^{- Ω (m 2^{- k})} .

$\mathbb{P}[|S \cap P| < m 2^{-k-1}] \leq 2^{-\Omega(m 2^{-k})}.$

P [| E_{x \in S \cap P} [f (x)] - E_{x \in S} [f (x)] | > ε] \leq 2^{- Ω (| S \cap P | ε^{2})} .

$\mathbb{P}[| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(|S \cap P| \varepsilon^2)}.$

За допомогою об'єднання, пов'язаного над усіма варіантами , маємоОтже, вибравши , ми можемо переконатися, що з вірогідністю принаймні ми можемо оцінити до для всіх підкубів розміром . ${n \choose k}2^k$ $S$

P [\forall S | E_{x \in S \cap P} [f (x)] - E_{x \in S} [f (x)] | \leq ε] \geq 1 - (\binom{n}{k}) 2^{k} 2^{- Ω (m 2^{- k} ε^{2})} .

$\mathbb{P}[\forall S ~~ | \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | \leq \varepsilon] \geq 1 - {n \choose k} 2^k 2^{-\Omega(m 2^{-k} \varepsilon^2)}.$

m = O (2^{k} / ε^{2} \cdot k \log n)

$m = O(2^k/\varepsilon^2 \cdot k \log n)$

0.99

$0.99$

E_{x \in S} [f (x)]

$\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]$

ε

$\varepsilon$

S

$S$

2^{n - k}

$2^{n-k}$

Встановивши , доведемо теорему: підбираючи підпункт з найбільшимбуде, з великою часткою ймовірності, задовольнити вимоги. QED $\varepsilon=0.01$ $| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)]|$

— Томас
джерело

О, хто, як нерозумно зі мною: так, основна ідея полягає в тому, що якщо ви відібраєте балів, то очікуваний з них буде у кожному підпункті, тому зі скромним значенням що дає велике достатній розмір вибірки, щоб вирішити проблему, навіть після обмеження об'єднання по всіх меж Черноффа. Також я впевнений, що будь-яке рішення може бути адаптоване для усунення розриву між 0,1 та 0,12, тому я просто додам це як коментар до питання. Дякую!!

C \cdot 2^{k}

$C \cdot 2^k$

C

$C$

C

$C$

n^{k}

$n^k$

— mobius dumpling

Інший спосіб бачити це, що описаний вами простір діапазону має обмежений розмір руйнування і, отже, обмежений розмір ВК, а потім ви кидаєте на нього теорему наближення eps.

— Суреш Венкат