Наближення # P-важких проблем

9

Розглянемо класичну проблему # P-завершення №3SAT, тобто підрахуємо кількість оцінок, щоб скласти 3CNF з $n$ змінні, що задовольняються Мене цікавить адитивна наближеність. Зрозуміло, що існує тривіальний алгоритм, якого потрібно досягти $2^{n-1}$ -помилка, але якщо $k<2^{n-1}$ , чи можливо мати ефективний алгоритм наближення, або ця проблема також є # P-жорсткою?

— користувач0928
джерело

Якщо

k = 2^{n - 1} - p o l y (n)

$k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$ , то існує полі-часовий алгоритм з адитивною помилкою

k

$k$ . Якщо

k = 2^{n} / p o l y (n)

$k=2^{n}/\mathrm{poly}(n)$ , тоді був би рандомізований полі-часовий алгоритм з додатковою помилкою

k

$k$ . Коли

k

$k$ значно менший (але не поліноміально малий), я б очікував, що він буде NP-жорстким, але не # P-жорстким, так як твердість # P зазвичай залежить від того, щоб він був точним обчисленням.

— Томас

Чи можете ви надати посилання на перші дві претензії? Вибачте, що я початківець ...

— користувач0928

10

Нас цікавлять додаткові наближення до # 3SAT. тобто дано 3CNF $\phi$ на $n$ змінні підраховують кількість задовольняючих завдань (називайте це $a$ ) аж до помилки добавки $k$ .

Ось кілька основних результатів для цього:

Випадок 1: $k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

Тут є детермінований багаточасний алгоритм: Нехай $m=2^n-2k = \mathrm{poly}(n)$ . Тепер оцініть $\phi$ на $m$ довільні введення (наприклад, лексикографічно спочатку $m$ входи). Припустимо $\ell$ цих входів задовольняють $\phi$ . Тоді ми знаємо $a \geq \ell$ як є принаймні $\ell$ виконання завдань та $a \leq 2^n - (m-\ell)$ як є принаймні $m-\ell$ незадовільні завдання. Довжина цього інтервалу дорівнює $2^n - (m-\ell) - \ell = 2k$ . Отже, якщо ми виводимо середину $2^{n-1} -m/2 + \ell$ це всередині $k$ правильної відповіді, якщо потрібно.

Випадок 2: $k=2^n/\mathrm{poly}(n)$

Тут ми маємо рандомізований алгоритм багаторазового часу: Оцініть $\phi$ у $m$ випадкові точки $X_1, \cdots, X_m \in \{0,1\}^n$ . Дозволяє $\alpha = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \phi(X_i)$ і $\varepsilon = k/2^n$ . Ми виводимо $2^n \cdot \alpha$ . Щоб це не було максимум помилок $k$ нам потрібно

k \geq | 2^{n} α - a | = 2^{n} | α - a / 2^{n} |,

$k \geq |2^n \alpha - a| = 2^n |\alpha - a/2^n|,$ що еквівалентно

| α - a / 2^{n} | \leq ε .

$|\alpha - a/2^n| \leq \varepsilon.$ За Чернову пов'язані ,

P [| α - a / 2^{n} | > ε] \leq 2^{- Ω (m ε^{2})},

$\mathbb{P}[|\alpha - a/2^n| > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(m \varepsilon^2)},$ як

E [ϕ (X_{i})] = E [α] = a / 2^{n}

$\mathbb{E}[\phi(X_i)]=\mathbb{E}[\alpha]=a/2^n$ . Це означає, що якщо ми обираємо

m = O (1 / ε^{2}) = p o l y (n)

$m=O(1/\varepsilon^2) = \mathrm{poly}(n)$ (і забезпеч

m

$m$ це сила

2

$2$ ), то з вірогідністю хоча б

0.99

$0.99$ , помилка - не більше

k

$k$ .

Випадок 3: $k=2^{cn + o(n)}$ для $c < 1$

У цьому випадку проблема # P-hard: ми зробимо зменшення від # 3SAT. Візьміть 3CNF $\psi$ на $m$ змінні. Виберіть $n \geq m$ такий як $k < 2^{n-m-1}$ - цього потрібно $n = O(m/(1-c))$ . Дозволяє $\phi=\psi$ крім $\phi$ зараз увімкнено $n$ змінні, а не $m$ . Якщо $\psi$ має $b$ виконуючи завдання, значить $\phi$ має $b \cdot 2^{n-m}$ виконання завдань, як $n-m$ "вільні" змінні можуть приймати будь-яке значення у задовольняючому призначенні. Тепер припустимо, що у нас є $\hat{a}$ такий як $|\hat{a}-a| \leq k$ -- це є $\hat{a}$ є наближенням до кількості задовольняючих завдань $\phi$ з додатковою помилкою $k$ . Тоді

| b - \hat{a} / 2^{n - m} | = | \frac{a - \hat{a}}{2^{n - m}} | \leq \frac{k}{2^{n - m}} < 1 / 2.

$|b-\hat{a}/2^{n-m}| = \left| \frac{a - \hat{a}}{2^{n-m}}\right| \leq \frac{k}{2^{n-m}} < 1/2.$ З тих пір

b

$b$ це ціле число, це означає, що ми можемо визначити точне значення

b

$b$ з

\hat{a}

$\hat{a}$ . Алгоритмічно визначає точне значення

b

$b$ тягне за собою вирішення проблеми # P-завершення # 3SAT. Це означає, що обчислити # P-важко

\hat{a}

$\hat{a}$ .

— Томас
джерело

4

Ось посилання на Бордевіча, Фрідмана, Ловаша та валлійського, які певною мірою розвивають цю тему.

— Мартін Шварц
джерело