Зниження P проти NP до SAT

Наступне питання використовує ідеї криптографії, застосовані до теорії складності. Однак це питання теоретично складного і теоретичного питання, і для того, щоб відповісти на нього, не потрібно криптознань.

Я навмисно пишу це питання дуже неофіційно. Не маючи деталей, можливо, це вказано трохи неправильно. Будь ласка, не соромтесь вказати на виправлення у своїх відповідях.

У наступній статті:
Криптографія, що не піддається зміні, Данні Долев, Сінтія Дворк та Моні Наор, SIAM Rev. 45, 727 (2003), DOI: 10.1137 / S0036144503429856 ,
автори пишуть:

Припустимо, дослідник A отримав доказ того, що P ≠ NP і бажає повідомити цей факт професору Б. Припустимо, що, щоб захистити себе, A доводить свою претензію на B з нульовим знанням ...

Існує декілька стандартних проблем, повних NP, таких як задоволеність (SAT), графік-гамільтонічність та графічність-3-кольоровість (G3C), для яких існують докази нульових знань. Стандартний спосіб доведення будь-якої теореми NP полягає в тому, щоб спочатку звести її до екземпляра вищезазначених проблем, повних NP, а потім провести доведення нульових знань.

Це питання стосується такого скорочення. Припустимо, що P проти NP врегульовано будь-яким із наступних способів:

P = NP
P ≠ NP
P vs. NP не залежить від стандартної теорії аксіоматичних множин.

Нехай σ позначає доказ. Тоді P vs. NP є мовою NP (оскільки для цього існує короткий доказ). Зведення від теореми (скажімо, P ≠ NP) до задачі NP-повної (скажімо, SAT) не залежить від σ. Це:

There exists a formula ϕ which is satisfiable if and only if P ≠ NP.

Це далеко поза моєю уявою! Здається, що навіть якщо нам дано доказ σ, навряд чи вдасться побудувати таку формулу ϕ.

Чи може хтось пролити на це світло?

Крім того, нехай L є мовою NP, в якій лежить P проти NP . Мова складається з нескінченно багатьох теорем, таких як P проти NP , довільних розмірів.

Що таке кандидат на L?
Чи може L бути повним?

— М. С. Дусті
джерело

Я не отримую цієї частини: "Нехай σ позначає доказ. Тоді P проти NP знаходиться в NP (оскільки для нього існує короткий доказ). Зведення від теореми (скажімо, P ≠ NP) до NP -повна проблема (скажімо, SAT) не залежить від σ. Тобто: існує формула ϕ, яка задоволена тоді і лише тоді, коли P ≠ NP. ". Не могли б ви пояснити це ще трохи? Для мене немає сенсу, що "P vs NP знаходиться в NP", навіть якщо ви зміните його на "чи існує теорія доказів довжини не більше n в теорії T для P \ neq NP". Або є найменший п, такий є доказ такого розміру для питання, або немає такого доказу.

— Каве

[продовження] Якщо немає жодної функції, яка завжди відкидає, відповідає на питання, а в іншому випадку функція, яка приймає будь-яке число, більша за довжину найменшого доказу, і відхиляє все менше, ніж воно вирішить питання. Питання, що дано та , does має доказ розміру n у є NP, але якщо ви виправите це не має великого сенсу.

φ

$\varphi$

n

$n$

φ

$\varphi$

T

$T$

φ

$\varphi$

— Kaveh

Також зауважимо, що питання, "яке дано твердження (на зразок ), чи можна це довести в теорії першого порядку ?" не вирішується загалом.

φ

$\varphi$

P \neq N P

$P \neq NP$

T

$T$

— Каве

@Kaveh: Роз'яснення додано.

— М. С. Дусті

деякі цікаві ідеї, але немає сенсу говорити, що "доказ є в НП" або що "існує короткий доказ". тобто може бути якийсь метод проведення цих паралелей, але це має бути більш формально визначене. Найближчим до цих ідей, мабуть, була б рамка природних доказів.

— vzn

Відповіді:

Спосіб перегляду тестування математичного висловлювання (наприклад, роздільної здатності P проти NP) як питання форми "є формулою .. задовольняє" полягає в наступному:

Зафіксуйте деяку систему аксіом. З огляду на рядок довжиною n, чи є рядок доказом математичного твердження в системі аксіом, це те, що можна визначити прямолінійно: рядок повинен складатися з пропозицій. Кожна пропозиція повинна бути або аксіомою, або випливати з попередніх пропозицій за одним із правил умовиводу.

Визначити булеву формулу, яка підтверджує все це, не проблема. Все, що вам слід знати, - це довжина n доказу!

— Дана Мошковіц
джерело

P vs. NP знаходиться в NP (оскільки існує короткий доказ цього)

Це не має для мене особливого сенсу. NP - клас складності для проблем рішення, які мають довільно великі екземпляри, а P vs. NP їх не має. З того, що ви скажете пізніше:

нехай L - мова NP, в якій лежить P проти NP.

ви можете замість цього означати, що P vs. NP є випадком проблеми NP; але, звичайно, є! Це також екземпляр нескінченної кількості проблем P, DTIME (n) тощо. Зокрема, тут є два кандидати на DTIME (1) для L, саме один з яких правильний: завжди повертайтеся true; або завжди повертатися false.

— Олексій Романов
джерело

Будь ласка, прочитайте бічну примітку на початку питання ще раз. Я це викладав неофіційно, і це призводить до вашої плутанини. Для формалізації потрібно розглянути узагальнення теореми "Р проти НП". Для нескінченно багатьох n узагальнення передбачає теорему про довжину n. Теореми породжують мову L, що неможливо вирішити в DTIME (1).

— МС Дусті

Тоді короткий доказ / відмова від "P проти NP" - це лише один екземпляр "узагальненого P проти NP" (можливо, легкий?), І це не випливає з того, що GPvNP знаходиться в NP.

— Олексій Романов

Підкреслено: Я розумію заперечення щодо того, як формулюється перше цитоване твердження, оскільки члени НП є множинами, а "П проти НП" - це не множина. Однак, по другому запереченню, будь-яка "проблема NP" - це проблема рішення, яка завжди може бути законно сформульована як вирішення, чи є рядок мовою; Я не бачу нічого поганого в його визначенні Л. Далі, звернення до тривіальних, завжди правдивих або завжди помилкових мов DTIME (1) ігнорує суть: Якщо ми вже знаємо ВСІ справжні твердження, імовірно, ми будуємо вигляд- таблиця складання для машини Тьюрінга для доступу до постійного часу.

— Даніель Апон

[Продовження] Але якщо припустити, що L - це належна мова (тобто нескінченний набір), то ви припускаєте нескінченно велику таблицю "правдивих тверджень" для доступу, яка, здається, порушує всі види правил. Або ще до речі: чому ваш аргумент для DTIME (1) не узагальнюється на БУДЬ-яку мову, а не лише на дивну, яку ми зараз розглядаємо?

— Даніель Апон

L \in D T I M E (1)

$L \in DTIME(1)$